悖论的最终解决 哥德尔

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在希尔伯特提出的二十三个问题中，第二个问题非常引人注目：能否建立一组公理体系，原则上都可以由此经过有限步骤推出一切数学命题的真伪，这就是公理体系的“完备性”。尽管这句话看起来很复杂，但我们可以换一种说法——能不能找到最基本的不用补充的一套理论，这套理论互相不矛盾，不管什么问题，都可以用这套理论证明正确或者错误。更进一步讲，不可能出现一个大一统的理论，可以证明所有事情，因为总会出现例外的情况。希尔伯特这个问题看起来和数学没有关系，实际上却属于数学的一个分支——数理逻辑。

希尔伯特之所以提出这个问题，是因为在不久之前发生了第三次数学危机，由于集合论出现了始料未及的问题，让数学家们开始怀疑自己的工作。希尔伯特期待数理逻辑学家证明他提出的这个问题的正确性，好让数学家们专心对他们的研究学科严格公理化，不用担心研究会出现什么逻辑问题，尤其是在很多猜想方面给数学家们信心，告诉他们一定能证明或者证伪，只是时间问题。但好景不长，这个问题被著名数学物理学家哥德尔证明了。

哥德尔出生在捷克的布尔诺，在他小的时候曾经受到了飞驰的马车的惊吓，从此性格变得内向、沉默寡言。强烈的刺激似乎对哥德尔的智力产生了重大的影响，哥德尔的成绩在学校里一直出类拔萃，但他一直为人谨慎小心，从来不出任何细小的差错。

1930年，哥德尔在维也纳大学获得了博士学位，并留校任教。第二年，哥德尔证明了哥德尔不完备定理。

这个定理包括两条，第一不完备定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定；第二不完备定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

这两条定理彻底击碎了很多数学家的梦想——寻找一个包罗万象的理论解释一切事情是不可能的。据说希尔伯特听到这个消息，感到非常愤怒。他愤怒的不是哥德尔证明了这个定理，事实上他也想知道这个问题的答案，而是他的美好梦想的破碎，但事实就是事实，希尔伯特不得不接受这个结果。

数理逻辑学家们一直致力于消除那些似是而非的悖论，有的悖论是因为数学发展不完善造成的，而有的悖论纯粹因为逻辑的问题，其中有一个说谎者的故事就是这样的例子：一个人说“我说的话都是假的”。不论这个人说的是真是假都会产生矛盾。哥德尔定理说明了这种语义无法避免，在现有的逻辑下，你既不能判断它正确也不能判断它错误。

由于欧洲战火绵延，和很多其他科学家一样，哥德尔也来到美国。1938年，哥德尔在美国普林斯顿高等研究院任职。

在这里他和爱因斯坦成为好朋友。爱因斯坦外向，喜欢交朋友，哥德尔内向没有什么朋友，两个人都是极度聪明的人，对话时往往只需要三言两语就明白对方的意图。

哥德尔和爱因斯坦

研究数理逻辑学的人很容易走入极端，就连问候语“你好”，都能让他们产生丰富的联想，而哥德尔就是这样的人。1948年，爱因斯坦作为担保人介绍哥德尔加入美国国籍。在宣誓的前一天晚上，爱因斯坦再三叮嘱哥德尔在移民官面前不要乱说话，哥德尔答应了。

第二天在面试官面前，哥德尔欲言又止，最后终于忍不住了，他大声说道，美国宪法有问题，这个问题可能会导致独裁！看到要出问题，站在一边的爱因斯坦马上转移话题，哥德尔顺利加入美国国籍。事后，爱因斯坦质问哥德尔，哥德尔说他实在无法容忍宪法的漏洞，实在憋不住要提出来。

爱因斯坦的死对哥德尔打击很大，让他失去了精神支柱。哥德尔在晚年得了精神病——很多过度思考的人都失去了正常的心理状态。他曾经和他的学生说，自己只能证明什么是错的，却无法证明什么是正确了。最后，可怜的哥德尔怀疑有人要毒死他，绝食很多天，去世的时候只有不到四十公斤。