优化 | 基于排队论模型浅析各地医护人员驰援武汉的重要意义

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作者：校苑数模

编者按

这次的疫情来的猝不及防，但是强大的华夏儿女不会因此而屈服。为了打赢这场战“疫”，各地的医护人员相继支援武汉，他们都是最美的人。今天，我们就从数学的角度来看看各地医护人员对武汉支援的重要意义，加油！

最近武汉疫情牵动着全国人民的心。自1月23日武汉封城以来，当地各医院医疗人员和物资缺乏的信息在网上传出。在疫情爆发初期，就诊人数激增，医疗人员紧缺，有些医护人员只能休息不到4个小时就要继续赶赴战场前线；并且由于医疗物资的缺乏，许多医护人员甚至在抗战疫情前线裸奔直到前天，形势可谓相当严峻。

一方有难，八方支援！在疫情爆发后的24小时之内，1月24日第一批从上海和广东的医疗队赶往武汉。而后，我们就不断听到这样的消息：

解放军派出三支医疗队共450人，大年除夕分别从上海、重庆、西安三地乘军机出发，支援武汉；

河南省首批医疗队137名医护人员出征支援武汉；

辽宁首批驰援武汉的医护人员抵达武汉天河机场；

浙江135名医护人员整装待发，奔赴武汉；

江西医专一附院96名医护人员请战支援武汉！

……

据国家卫健委消息称，截止29日晚，全国各地共有30余只医疗队，近6000名医护人员赶赴武汉驰援疫情防治工作！于是，我们见证了一批又一批更多的来自全国各地的医护人员义无反顾的冲向第一线，驰援武汉，却将自己的安危抛在了脑后……

正是这些来自全国各地的最美逆行者们，为武汉和全国的疫情防治工作注入了一针强心剂，也更加坚定了全国人民抗战疫情的决心。

接下来小数将从数学建模的角度，通过建立排队论模型分析各地医护人员驰援武汉的重要作用，以此向奋战在一线的最美逆行者们致敬！小数将在下面分别研究疫情爆发初期以及全国各地医护人员驰援武汉后患者就诊情况的变化，并将二者进行对比，从而直观的看出支援后带给武汉的重要变化。

基本假设

1.假设患者所挂的科室均为发热门诊；

2.假设患者不会中途因排队人数过多而离开，直到在服务台就诊完成后才离去，否则一直处在队列中等待；

3.由于发热患者数以万计，为减少计算机运算量，假设每个服务台均有1000名门诊医生为患者服务，即以千人为单位。

排队论模型

接下来小数建立了M｜M｜c｜∞排队模型。M｜M｜c｜∞排队系统的基本结构由四部分组成，分别为：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口以及排队规则。其工作示意图如下图所示。

首先，患者的来到过程服从Poisson分布：

其中λ为有效的平均到达率。

患者接受服务的时间服从负指数分布：

其中μ>0，且μ为常数，代表单位时间的平均服务率。

服务窗口包含了多个服务台，设服务台的个数为c(c≥2)，并且各个服务台并联。假定各个服务台独立工作，其平均服务率

均相同，则有μ1=μ2=…=μc。排队规则采用等待制：即认为患者到达时，如果所有服务台都没有空闲，他们就排队等待，并且先到先接受服务，后到后接受服务。并且小数假设患者源（人数）不受限制，即患者的队长L∈(0,∞)且L∈Z。

系统的稳态概率为：

系统中有n个窗口正在服务的概率为：

其中，记服务强度为ρ=λ/(cμ)，当ρ≥1时，排队系统被认为是非稳态的，表明患者到达数量大于医院平均服务水平，即开设的服务窗口不足以满足前来就诊的患者，患者需要排队等待，随时间的增加，排队队列越来越长，最终在一定时间形成无限长的队列；当ρ<1时，可利用M｜M｜c｜∞模型计算出相应指标。

队列长为：

平均队列长度为：

通过Little公式，可求得患者的平均逗留时间Ws为：

患者平均等待时间Wq为：

患者就诊总时间WT为：

其中，tl为患者的离开时间，tc为患者的到达时间。

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模拟结果分析

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接下来，小数基于上述模型对武汉门诊情况进行了分析。

首先，设武汉当地门诊已有医生人数为1（千人），即服务台数为c=1，设患者的平均到达率λ=10，医院的平均服务率

=4，总仿真时间Totaltime = 20，采用MATLAB软件对M｜M｜c｜∞排队系统进行模拟，结果如下图所示。

c=1时模拟结果

不难发现，当门诊医生人数为1000人时，即服务台数仅为1台时，即c=1。患者的到达时间曲线与离开时间曲线相距较远，当队列长Lq为40~60时，患者的等待时间和停留时间的范围为6.5~8，这说明由于当前门诊医生数量不足，导致患者在医院的停留时间较长。由此带来的问题是：

①在较长时间的排队就诊过程中，患者之间易导致交叉感染！

②对于病情较重的发热患者来说，长时间的排队可能导致病情加重。

为了避免上述两种情况的发生，对于武汉当地来说，若仅有1000名门诊医生，显然不足以让数以万计的患者就诊，因此亟需更多的医疗人员进行支援。并且由上述右图可以看出，队列长Lq越大，患者的等待时间和停留时间越长，患者就诊总时间WT=tl-tc就越长，这完全符合我们平时对于排队的认知，因此验证了该模拟结果的合理性。

接下来小数考虑增加门诊医生的数量。先假设全国各地支援武汉的医生人数为1000人，并由于之前假设武汉当地门诊已有医生人数为1000人，故此时门诊医生总人数为2000人，即c=2。

c=2时模拟结果

上图表示c=2时的模拟结果。由上图可知，随着时间的增加队列长Lq增大，患者的数量逐渐增多。并且队列长Lq越大，患者就诊总时间为WT=tl-tc就越长。这与c=1时的变化趋势相同，具有合理性。然而与c=1时不同的是，当队列长Lq为40~60时，患者的等待时间和停留时间的范围为1.3~3.3，与c=1时的6.5~8相比大幅缩短。

由此可知，当驰援人数为1000人（仅增加1台服务台）时，就已经明显缩短了患者的就诊时间，从而使得患者就诊效率大大提高。进而大幅减小了患者之间交叉感染的概率和危重患者的死亡率，同时，还可以在一定程度上缓解武汉当地医院门诊的压力。

而后小数又分别对c=3（驰援人数为2000人）和c=5（驰援人数为4000人）的情况进行了模拟。结果表明，在其他初值仍保持不变的前提下，当驰援人数分别由1000人增至2000人和4000人时，即服务台数由2台分别增至3台和5台时，患者的就诊总时间大大缩短。即使队列长度较长，也可满足患者就诊总时间的相对缩短。

c=3时模拟结果

c=3（驰援人数为2000人）时，在队列长Lq为40~60处患者的等待时间和停留时间为0~1，与c=2时的1.3~3.3相比，进一步缩短。

c=5时模拟结果

上图为当c=5时排队系统的模拟结果。与c=1,2,3时相比，患者需要等待的时间大大缩短，患者就诊效率大大提高。这样对于很多病情较为严重的患者，通过及时的救治就可以大大提高其生存几率，并大大缓解了当地医院的就诊压力！

由此可见，在这场与冠状病毒斗争的艰苦战“疫”中，来自全国各地驰援武汉的医护人员肩负着怎样的责任、压力与重担！而对于赶赴武汉的医务工作者来说，恰恰是他们对于患者救死扶伤和慈悲为怀的内心，驱使着他们不顾个人安危，坚持抗战在第一线，才让武汉人民和全国各族人民对于战胜病毒有了更多的希望~

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致敬最美逆行者

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因为这一场疫情，我们再一次认识了这一群最可敬的人：奋斗在抗击疫情最前线的医护人员们！这些医护人员为了治病救人，冒着生命危险，冲在这场没有硝烟的战争的最前线。

在这场战“疫”中，很多医护人员的举动，令人动容。他们放弃年假，别离亲人，请愿上“战场”。他们表示，在这场疫情防控的战争中，作为医护人员救死扶伤是天职，所以他们自愿申请加入救治医疗队，前往最需要的地方！

在这场战争中，医护人员冲在前面，把生的希望留给患者，把死的危险留给自己。面对新型冠状病毒感染的肺炎人传人的危险，坚持在对抗疫情的最前线。因为与病人最近距离的接触，医务人员感染病毒的几率最大，一些医务人员不幸被感染，不得不接受治疗，有些还不幸因此而付出生命的代价。他们，值得我们敬佩！

“生亦我所欲也，义亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取义也。”这句话在中国从来不是一句空话。每逢遭遇大难，这个民族总会涌现出无数可歌可泣的英雄，他们许多人都没有留下名字，可他们都诠释了舍生取义这四个字。

如今，在病毒肆虐的日子里，武汉人坚守一线，四川人再次上演壮士出川，南京千人请战……全国上下每一个角落，都在涌现想要开赴前线的战士。

这就是中国人的信仰，这就是中国人的骄傲，这就是中国人的脊梁！向全体最伟大的医疗工作者致以最崇高的敬意！

让我们共同坚守，直到春暖花开！

参考文献

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[2]Zhou Wei, Wang Qiangqiang, M|M|c Model Extension and Its Applicationunder Dynamic Input Rate and Service Rate Setting, OperationsResearch and Management, 26(2): 76-83,2017.

[3]Zhong Ming, Li Chenhui, Liu Shaobo, Prediction of the waiting time ofthe Three Gorges Dam based on the M|M|c queuing model. TrafficInformation and Safety, 35(4): 84-91, 2017.

[4]Hui Xiaoping, model research in the queuing problem of medicaltreatment, Department of Basic Science, Suzhou Health Vocational andTechnical College, 195.