实数运算中的奇偶问题，从易到难，都在这里了！

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一个人如果不到最高峰， 他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。

——萧伯纳

人类学家和心理学家们注意到这么一个有趣的现象：如果一个概念在某个文化里没有出现，即使它客观上是存在的，但人们主观上也不会有任何感知。比如说“圆周率”，这个概念出现之前，虽然它一直存在，但整个人类都无法感知。

我们所生存的这个世界是有生命的，你如何对待它，它就如何对待你；什么样的人，就生活在什么样的世界。

所以，若是你能善待你的世界，你的世界大抵上可以给你足够的善待；若是你能宽容你的世界，你的世界大抵上能够给你足够的宽容；若你是个非常认真生活的人，你的世界也会非常认真地对待你。这么多年来，我就是这么想的，这么做的，貌似我的世界也是如此对待我的。

信任这种东西，真的不是能够装出来的。虽然嘴上不说，但是通过你的态度和语气，人们还是能够感受到每句话背后的信任。

如果你把学生当天才去教，他们未必会成为天才；但是如果你把他们当做蠢材去教，那你多半都会如愿以偿。

就像我们说的那样，你真的能够学好的前提是，你相信自己可以。

不论是面对他人，还是面对自己，开始的时候都抱有足够的信心。只有这样，你才真正有机会达成自己的目标。

01

在实数运算中，有一类很简单的问题，就是奇数偶数的问题。奇数偶数是我们小学的时候就接触的概念，我们都很熟悉它们。但由于我们的学员中有很大一部分是考MBA的，他们很多都已经参加工作五年、十年，甚至二十年以上，早年间在学校获取的那些东西都已经忘的差不多了，因此，我们有必要把这两个基础的概念拿出来好好讲讲。

并且，我们还要把奇数偶数的概念和其他知识点相结合的题型也讲一下，考MPAcc的同学，也会有些收获。好了，请看题：

正整数m是偶数：

（1）m被3除时，其余数为2.

（2）m被6除时，其余数为4.

这是一道条件充分性判断题。做条件充分性判断题的时候，我们要么就用条件直接去推结论，看是否能够推出结论成立；我们要么就从条件中试着举反例，只要能举出反例，就证明了该条件不充分。

对于条件（1）来说，m可以表示成：m=3k+2。那m是偶数吗？不一定，因为我们这里随便给k赋一个值：1，那么m=5，就不是偶数。既然反例存在，则条件（1）不充分。

对于条件（2）来说，m可以表示成：m=6k+4=2(3k+1)。此时，不论k取什么值，m都是偶数。所以条件（2）充分，答案选B。

再来看一道题：

对于条件（1），我们只要让m取一个2，就知道，条件（1）不充分。

对于条件（2），因为m是奇数，所以m可以设成：m=2k+1。所以有：

因为k和k+1中，必然有一个是偶数，所以n2-1一定是8的倍数。所以条件（2）充分，所以选B。

02

我们再来看两道有些难度的题：

n为任意正整数，则n3-n必有约数（因数）：

A，4 B，5 C，6 D，7 E，8

我们把式子化简：

我们看一下这个式子有什么规律：它是由三个连续的整数相乘，类似于4×5×6之类的。那么，三个连续的整数中，必有一个是偶数，也必有一个是3的倍数（不服气的自己举出反例！），也就是说，这三个连续的整数里悄咪咪地藏着一个2，藏着一个3，乘起来就是隐含了一个6，所以，n3-n必有约数6，答案选C。

上面几道题还是比较小儿科的，我们来一道偏难一点的，做做试试：

m为偶数。

（1）设m为整数，m=n(n+1)。

（2）在1，2，3，…，1988这1988个自然数中，

每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，

设这样组成的运算式的结果是m。

由条件（1）可知，m等于两个相邻整数相乘，其中必有一个为偶数，故m一定为偶数。条件（1）充分。

条件（2）可就不好办了，因为加号减号是随机地在1988个数之间添加的，没有什么规律，不好下手。不过，这里涉及到了奇数偶数之间的加减运算，所以老师就要提醒大家，要想到奇数偶数之间的运算规律：

在这里，同类型的数相加减，得到的都是偶数。因此，我们尽量把同类型的数放在一起：让奇数待在一起，让偶数待在一起。这样，就可以把大部分数的运算都先转化成偶数。然后再进行下一步的计算。

1到1988，共有994个偶数，994个奇数。这994个偶数中间，无论是添加加号还是减号，最终整体运算结果是偶数。这994个奇数，中间无论是添加加号还是减号，最终运算结果也是偶数（不理解的，就先两两运算，得到497个偶数，然后497个偶数再进行运算）。所以最终结果两个偶数进行运算，那一定还是偶数。所以条件（2）也是充分的。故答案选D。

03

奇数和偶数直接考察的其实还是比较少的，因为概念比较简单，其延展性也比较弱，因此对应的题型不多，一般往往是和其他概念结合着一起考察。下面我们就来看一道奇数偶数和质数结合着考察的题型。

已知p1,p2,p3为三个质数，且满足p1+p2+p3+p1p2p3=99，则p1+p2+p3=：

A，19 B，25 C，27 D，26 E，23

这道题明面上是考察质数的性质，但其实是质数和奇数偶数结合着考察。因为奇数偶数和质数有一定的关联性，那就是：质数中，2是唯一的偶数。因此这道题在分析的时候，我们就首先把奇数偶数的内容引申进去。

这三个质数，它们的奇偶情况有如下几种：3个奇数，3个偶数，2奇1偶，2偶1奇。又因为p1+p2+p3+p1p2p3=99，所以我们确定，这三个质数的情况是：2偶1奇（其他三种自己试着排查，很简单的）。又因为质数中的偶数就是2，所以这两个偶数都是2，代入式子中，第三个数就是19。最终p1+p2+p3=2+2+19=23，答案选E。

好了，这期的内容我们就讲到这里了，疫情很快就将结束，武汉胜利！中国胜利！也希望大家在年底的考试中，一切顺利！一切胜利！



贫而懒惰乃真穷，贱而无志是真贱。

——罗丹