探讨BDS-3三频组合优化选取与遗传模拟退火FCM算法的有机融合

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摘要：北斗三号系统播发B1I、B1C、B2a、B3I4种公开服务信号,可组成4种BDS-3三频载波相位组合,即B1C、B2a、B3I在分析三频载波相位组合观测值模型基础上,给出三频载波相位组合优化选取标准。针对以往模糊C均值(FCM)算法在载波相位组合观测值优化选取中的不足,提出基于遗传模拟退火FCM算法。利用遗传模拟退火算法优化初始聚类中心,克服FCM算法过度依赖初始聚类中心的缺点;然后以长波长、弱电离层、低观测噪声为聚类指标,对选取的BDS-3三频载波组合观测值进行优化分类;最后利用矩阵变化法求解BDS-3三频实测数据模糊度,验证该方法的可行性。

关键词： 三频载波相位组合 北斗三号系统 测绘学 矩阵变化法 矩阵变换 组合观测值优化选取 遗传模拟退火FCM

目前,北斗三号系统已完成基本建成,根据中国卫星导航系统管理办公室发布的相关文件[1,2],BDS-3播发B1I、B1C、B2a、B3I4种公开服务信号,将多频组合观测值的一些组合特性应用于周跳探测修复及加快模糊度的解算成为必然趋势[3],BDS-34个公开服务的导航信号将提供更多性能优异三频线性组合选择[4],利用性能较优的三频组合,可以有效地削弱电离层延迟的影响,提高周跳探测与修复的可靠性,加快模糊度固定的速度[5],进一步改善服务精度。

目前,多频载波组合值的研究大多是关于GPS、Galileo与BDS-2[4],对于BDS-3新信号三频观测值研究较少,不利于发挥BDS-3多频导航信号的优点。BDS-3四频点信号可以组成4种三频载波组合,三频组合观测值优化选取方法类似,因此本文仅选取其中一种(B1C、B2a、B3I)为例进行研究。筛选出性能优越的三频线性组合是发挥BDS-3多频信号优势的关键,传统的组合观测值的筛选首先根据波长、电离层和噪声标准分别输出一系列组合,然后再在各个标准下结合原始数据逐个分析[6],当选取的组合较多时,工作量过大,效率很低。针对上述问题,文献[7]在对多频观测值误差分析后,提出运用基于相异度矩阵的自适应聚类算法对GPS三频组合进行分类;文献[6]和[8]引入模糊度理论,将其用于载波相位组合中,利用基于模糊度C均值聚类对BDS-2三频载波相位组合进行了分类。虽然上述方法一定程度能够实现三频观测值自动选取,提高效率,但均存在过度依赖初始聚类中心的问题,如果初始值选取不当,极易陷入局部最小值,不能获得最优分类。

针对上述问题,本文在分析BDS-3三频组合观测值模型基础上,给出三频线性组合优化选取标准,以长波长、弱电离层、低观测噪声为聚类指标,提出基于遗传模拟退火FCM算法,将模拟退火与遗传算法结合,用于优化初始聚类中心,然后对选取的BDS-3三频载波组合观测值进行优化分类选取,弥补以往聚类方法的不足,最后利用矩阵变化法求解BDS-3三频实测数据模糊度,验证该方法的可行性。

1、BDS-3三频组合基本模型及筛选标准

为便于表示,将B1C,B2a,B3I按频率大小排列编号,对应的载波频率特性如表1所示。

表1载波信号特性

BDS-3三频载波信号线性组合φc可表示为:

φc=k1φ1+k2φ2+k3φ3.         (1)

式中:k1,k2,k3为观测系数,φc为以周为单位的组合观测值,φ1,φ2,φ3为以周为单位的原始观测值,对应于f1,f2,f3频率。

设3个频率相位观测值噪声ε1,ε2,ε3相等且独立,下面分别给出组合观测值φc相应的频率fc、波长λc、整周模糊度Nc、相对于f1频率的电离层放大因子ηc、以周和以米为单位的噪声放大因子σc,σc表达式:

fc=k1f1+k2f2+k3f3.         (2)

λc=ck1f1+k2f2+k3f3.         (3)

Νc=k1Ν1+k2Ν2+k3Ν3.         (4)

c=k1+k2f1f2+k3f1f3.         (5)

σc=k12+k22+k32.         (6)

σc=(k1λc/λ1)2+(k2λc/λ2)2+(k3λc/λ3)2.         (7)

式中:c为光速;N1,N2,N3对应于f1,f2,f3频率的原始载波观测值模糊度,为保证Nc为整数,k1,k2,k3均为整数。

若不加约束,可组成无穷种不同的线性组合,但所需的是那些对定位有实际价值的线性组合,长波长有利于模糊度的解算与固定,因此组合观测值应满足增加波长情况下尽量降低电离层延迟和观测噪声。

1)长波长标准。

组合观测值波长的长短对模糊度的快速固定至关重要,波长越长越有利于模糊度的快速固定,以米为单位的组合波长。

2)弱电离层标准。

无论是精密单点定位还是长基线的相对定位,电离层延迟对模糊度解算的影响都十分明显,甚至可能导致模糊度无法解算,所以在选取组合系数时,为使电离层延迟尽量小,应使式(5)中ηc尽量小。

3)低噪声标准。

设ε1=ε2=ε3=ε0,以米为单位的组合观测噪声εc为

εc=σc¯ε0.         (8)

选取组合系数时,应使σc¯尽量小,令ε0=0.002m。

本文依据以上筛选标准,任意选取部分线性组合,其相关特性指标见表2。

2、利用基于模拟退火遗传FCM算法筛选观测值

FCM是一种基于目标函数的模糊度聚类算法,其本质为一种局部搜索算法,如果初始中心选取不当,极容易收敛到局部最小值[9]。基于模拟退火遗传FCM算法将遗传与模拟退火算法结合用于初始化聚类中心,克服以上缺点,提高聚类速度和稳定性。

表2BDS-3三频载波相位组合观测值

2.1基本理论

1)FCM聚类算法。

FCM算法是一种经典的基于划分的聚类算法,其基本思想是使隶属度(相似程度)接近的对象划分到同一簇[10],通过不断优化初始目标函数值得到每个样本点对所有聚类中心的隶属度,根据隶属度大小对实现对样本的划分。

设样本对象集为X={x1,x2,…,xj,…,xn},将其分为C(2≤C≤n)类,聚类中心分别为{c1,c2,…,ci,…,cn},U为相似分类矩阵,样本xj属于某一类的隶属度为uij,目标函数Jb及约束条件可表示为:

Jb=∑i=1c∑j=1nuijm∥xj-ci∥2,         (9)

∑i=1cuij=1.         (10)

式中:m为加权参数,取值范围为1≤m≤∞。FCM是一种最佳的分类,使该分类产生最小的函数值Jb,结合la乘数法求解式(9)可得聚类中心与隶属度的计算式:

ci=∑j=1n(xjuijm)∑j=1muijm,         (11)

uij=1∑k=1c(∥xj-ci∥2∥xj-ck∥2)1m-1.         (12)

通过循环迭代,反复修改聚类中心与隶属度,直到Jb收敛。

2)基于模拟退火遗传FCM算法。

模拟退火算法(SA)很早就被成功用于组合优化的问题上,其基本思想是模拟自然界高温物体退火过程寻求最小解[11]。首先生成一个初始解为当前解,当产生新解的评价函数值小于初始解评价函数值时,则接受新解作为当前,否则以一定概率接受此解作为当前解,将该解继续重复迭代,防止陷入局部最优解。

遗传算法(GA)是借鉴生物界自然选择和遗传学机理而产生的一种计算模型,通过模拟自然界生物进化过程搜索最优解[12],把问题参数编码成染色体,对染色体不断进行选择、交叉、变异等类似生物染色体交换的操作,最终生成符合目标条件的染色体,但其容易早熟,陷入局部最优解。

基于模拟退火遗传(GASA)FCM算法将模拟退火与遗传算法结合用于FCM聚类分析,模拟退火和遗传算法可以互相取长补短,有效克服传统遗传算法的早熟问题,同时根据聚类问题设计遗传编码方式及适应度函数,能使算法更快、准确收敛到聚类中心[13]。

2.2算法流程

聚类分析中,样本一般具有多维特征,即通过多维特征确定样本之间差异。在众多的BDS3载波相位组合观测值中,要保证整周模糊度快速解算,应当满足长波长,弱电离层、低观测噪声标准,因此选取波长λc、电离层延迟系数ηc、噪声放大因子ε为特征指标,由于所选指标的量纲不一致,为避免对聚类分析产生影响,首先用最小-最大规范化对数据进行标准化[14],然后运用基于模拟退火遗传FCM算法进行组合观测值分类选取,基本流程(如图1)所示:

1)对数据进行最小-最大规范化:

v′=v-minmax-min(newmax-newmin)+new_min.         (13)

式中:max与min为样本x的特征v的最大与最小值,将v映射到新区间[new_max-new_min]中v′;

2)初始化控制参数:设置聚类个数Cn,种群个数Size,最大进化次数MAXCEN,交叉概率为Pc,变异概率为Pm,退火初始温度T0,温度冷却系数为k,终止温度为Tend,加权参数m,Jb终止容限ε,迭代次数S;

3)随机初始化C个聚类中心,对其进行二进制编码,假设每个初始中心有m维特征指标,用k位二进制编码表示,每个染色体由C个聚类中心组成,则每个染色体长度为C×m×k;

4)生成初始种群Chrom,用式(12)计算每个样本的隶属度,用式(9)计算每个个体适应度fi(i=1,2,…,Size);

5)设置循环变量Gen=0;

6)对群体Chrom实施选择、交叉、变异操作,对产生的新个体用式(11)计算C个聚类中心,各样本的隶属度及新个体的适应度f′i,若fi>f′i,则以新个体替换旧个体,否则以概率P(T)=exp((fi-f′i)T)接受新个体,舍弃旧个体;

7)若gen<MAXCEN,则gen=gen+1,转至步骤4,否则转至6;

8)若Ti<Tend则结束,返回全局最优解,否则执行降温操作Ti+1=kTi,转至步骤5[13]。

3、结果分析及算法验证

3.1结果分析

分别用基于遗传模拟退火FCM算法和FCM算法对表2数据进行聚类分析,参数设置分别如表3和表4所示,分类结果如表5和表6所示。

图1算法流程图

表3FCM实验参数导出到EXCEL

表4GASAFCM实验参数导出到EXCEL

表5GASAFCM聚类结果导出到EXCEL

利用基于遗传模拟退火FCM算法得到目标函数值Jb1=0.1296,多次计算结果均一样;而利用FCM算法得到目标函数值Jb2=0.1449,每次计算结果均不一样。可以看出经过SAGA优化后的FCM聚类目标函数值由0.1449变为0.1296,且每次都可以得到最优的目标函数值。本文仅选取部分线性组合,当数据量大时,基于遗传模拟退火FCM算法优势会更加明显。

仅对基于遗传模拟退火FCM算法得到的聚类

表6FCM聚类结果

结果进行分析,通过对比,易看出FCM算法聚类结果的不合理处。

第Ⅰ类{2、16}波长很长,电离层延迟系数和噪声相对较小,整周模糊度可以通过载波伪距法直接确定,特别组合16电离层延迟和噪声非常小,适合联合伪距进行中长基线的模糊度解算和修复失锁时间较长的周跳;第Ⅱ类{12、13}波长较长,电离层延迟系数和噪声相对小,特别组合12电离层延迟相对波长很小,因此也可用于中长基线模糊度解算;第Ⅲ类{8、9、14}和第Ⅴ类{1、7、10、11、15}波长都很短,电离层延迟相对波长很大,不予推荐;第Ⅳ类{3、4、5、6}波长都较长,电离层延迟系数和噪声都较小,特别组合4、6电离层与噪声都很小,无论在何种场景中,都可选择,但组合3、5电离层延迟相对波长较大,适用于短基线场景中。

3.2算法验证

采用矩阵变换法对实测的BDS三频数据进行模糊的解算,以此验证经基于模拟退火的遗传FCM算法聚类分析得到优化组合正确性。

三频双差伪距与载波观测方程可表示为:

∇Δρ˜i=∇Δρ+f12fi2∇ΔΙ+ερ˜i.         (14)

λi∇Δφi+λi∇ΔΝi=∇Δρ-f12fi2∇ΔΙ+εφ˜i.         (15)

式中:i=1,2,3,ᐁΔρ为与频率无关的几何距离,ᐁΔI为B1C频点上以米为单位的电离层延迟,ᐁΔρ˜i与ᐁΔφi是i频点上的双差伪距与载波观测值,λi为第i个频点上的波长,ερ˜i与εφ˜i分别双差伪距与载波观测值噪声。

几何距离ᐁΔρ与电离层延迟ᐁΔI采用最小二乘方法估算出:

[∇Δρ∇ΔΙ]=[2.2903-0.0938-1.1965-1.35410.29561.0585]×[∇Δρ˜1∇Δρ˜2∇Δρ˜3].   (16)

整周模糊度估计值:

[∇ΔΝ1∇ΔΝ2∇ΔΝ3]=-[φ1φ2φ3]+[19.1511-2.0461-11..5281-2.3258-11..5163-2.4480-12.1142][∇Δρ˜1∇Δρ˜2∇Δρ˜3].         (17)

设B1C、B2a、B3I伪距与载波相位观测值标准差分别相同,用σR和σφ表示,则模糊度方差-协方差矩阵可表示为:

DΝ=[]σφ+[511…..0042494….3284]σR.         (18)

原始模糊度方差过大,且模糊度间相关性太强,难以估计,但可以组成N1,N2,N3(均代指对应的双差模糊度)的线性组合,用整数变换方法减小模糊度的方差及相关性。设变换矩阵为Z,转换前模糊度为N,转换后模糊度为Ν¯,则有:

{Ν¯=ΖΝ,D¯Ν=ΖDΝΖΤ.         (19)

选取组合3(φ1,-2,1)、6(φ0,1,-1)与组合8(φ4,-2,7)、15(φ-1,3,1)分别组成转化矩阵Z1与Z2(Z1与Z2):

Ζ1=[1-2101-14-1-2],Ζ2=[4-27-131-67-6].         (20)

假定σφ=0.01周,σR=0.3m,经矩阵变换后的模糊度方差-协方差D¯N:

D¯Ν1=Ζ1DΝΖ1Τ=[0.1804-0.02484.0282-0.02480.0335-0.52994.0282-0..5748],D¯Ν2=Ζ2DΝΖ2Τ=[12243..5344-6912…5667-2264.6231-6912.45965-2264..0988].         (21)

可以看出,Z1变换后计算模糊度方差明显要比Z2小,N1,-2,1标准差较小(0.4247周),在短基线情况下可以用伪距/相位法直接固定,N0,1,-1标准差非常小(0.1830周),无论在何种情境下,都可采用伪距/相位法直接固定。N4,-2,7与N-1,3,1标准差分别为110.65周和36.27周,难以固定。

本文选取1.2km的短基线,利用北斗三号B1C、B2a、B3I三个频点数据,测定相邻历元间的模糊度差值如图2～5所示。

图2组合3(φ1,-2,1)历元间模糊度差值

图3组合6(φ1,1,-1)历元间模糊度差值

图4组合8(φ0,1,-1)历元间模糊度差值

图5组合15(φ0,1,-1)历元间模糊度差值

由图2～5可知,组合3(φ1,-2,1)模糊度差值大多在0.3周以内,极少数可以超过0.4周;组合6(φ0,1,-1)模糊度差值更小,大多数0.03周以内,不超过0.04周;组合8(φ4,-2,7)与组合15(φ-1,3,1)模糊度差值均较大,特别是组合8,模糊度差值最大可超过100周,模糊度难以固定;

4、结束语

北斗三卫星导航系统播发的四频点导航信号

可组成4种BDS-3三频载波线性组合,本文以其中一种(B1C、B2a、B3I)为例,在对三频线性组合基本模型分析的基础上,依据波长、电离层延迟系数、观测噪声为聚类标准,利用基于遗传模拟退火FCM算法对所选的部分线性组合进行聚类,实现BDS3三频组合观测值分类优化选取的目的,实验验证本文方法得到的优化组合,可以利用矩阵变换法在短时间内固定模糊度,体现了BDS3提供多频信号的优势。