圆周运动的临界问题

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要点归纳

1.解决圆周运动临界问题的一般思路

（1）要考虑达到临界条件时物体所处的状态。

（2）分析该状态下物体的受力特点。

（3）结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。

2.圆周运动与摩擦力有关的临界问题

（1）物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，此时静摩擦力提供向心力，则静摩擦力的方向指向圆心，大小为f=mv²/r。

（2）如果除摩擦力外还有其他力，此时的临界条件是静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心或沿半径指向圆心。

与摩擦力有关的临界问题都是静摩擦力达到最大值。

3.圆周运动与弹力有关的临界问题

（1）在有压力、支持力的运动中，临界条件是物体间的弹力恰好为0。

（2）在有绳上拉力的运动中，临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

4.几种常见的临界情况

（1）竖直平面内圆周运动的临界问题，物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语。根据运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型：一是只有拉（压）力，如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推（支撑）力的，如汽车过拱形桥等，称为“拱桥模型”；三是可拉（压）可推（支撑），如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。

（2）圆锥摆动态变化中的临界状态

例题：如图所示，

在水平桌面上有一个固定竖直转轴且过圆心的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细轻绳，细绳末端系住一木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数μ=√3/3。当转盘以角速度＝√5rad/s旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同。已知r＝1m，下列说法正确的是（）

A当＝√5rad/s稳定时，木块做圆周运动的半径为2m

B.当＝√5rad/s稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为4：1

C.要保持上述的稳定状态，角速度ω＜√10√3/3rad/s

D.无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态

例题：如图所示，

水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB。现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是（BC）

A.OB绳的拉力范围为0～√3mg/3

B.OB绳的拉力范围为√3mg/3～2√3mg/3

C.AB绳的拉力范围为0~√3mg/3

D.AB绳的拉力范围为0~2√3mg/3

例题：如图，

轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B（均可视为质点），A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动

（1）若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小

（2）若B球到最高点时的速度等于第（1）问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向

3）在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时AB球的速度大小.

例题：如图所示，

质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直，当轻杆轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直重力加速度为g，则（）

A.a绳的拉力可能为零

B.a绳的拉力随角速度的增大而增大

C.当角速度 ω＞gLsinθ时，b中拉力不为零

D.当角速度 ω＞gLsinθ时，若a突然被剪断，则b绳仍可保持水平

例题：图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大，则游客在滑动之前（）

A.受到的摩擦力充当向心力

B.受到的支持力逐渐减小

C.受到的摩擦力做正功

D受到的合外力不变

例题：在俄乌战争中，无人机发挥了重要作用。如图是某固定翼无人机在目标上空高度为h的水平面内盘旋，

做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s，无人机质量为m，巡航速度为v，所在地重力加速度为g。以下说法正确的是（D）

A.无人机圆周运动的周期为2πs/v

B.无人机匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用

C.无人机获得的升力大小等于mg

D.机翼与水平面的夹角0满足关系式：tanθ＝v²/g√s²-h²

例题：无缝钢管的制作原理如图所示，

竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝纲管.已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是（ C ）

A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上

B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同

C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力

D.管状模型转动的角速度ω最大为√g/R

例题：如图所示，

三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s²，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则（）

A.小球受重力、支持力、拉力和向心力

B.小球可能只受拉力和重力

C.当ω＝5√2/2rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零

D.当ω＝2√5rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用

例题：智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。

可视为质点的配重质量为0.5kg，绳长为0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度8取10m/s²，sin37°＝0.6，下列说法正确的是（CD）

A.匀速转动时，配重受到的合力恒定不变

B.若增大转速，腰带受到的合力不变

C.当稳定在37°时，配重的角速度为ω＝15rad/s

D.当θ由37°缓慢增加到53°的过程中，绳子对配重做正功

例题：如图所示，

足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链（质量不计）相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度ω坚直杆匀速转动，弹簧始终在弹性限度内，度系数为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，则（ACD）

例题：如图，

矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且 PQ 杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω＞ω′，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（BD）

A.小球的高度一定降低

B.弹簧弹力的大小一定不变

C.小球对杆压力的大小一定变大

D.小球所受合外力的大小一定变大

例题：如图所示，

在水平转台上放置两个可视为质点且质量均为1kg的物块A、B，它们与转台间的动摩擦因数均为0.5，两物块间连接原长为5cm、劲度系数为100N/m的轻质弹簧，其形变都在弹性限度内，两物块A、B和O点恰好构成一边长为10cm的正三角形。现使水平转台绕过O点的竖直轴缓慢加速（任一时刻可视为匀速圆周）转动直到刚要发生相对滑动的过程中，已知最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s²。则（AD）

A.物块A受到的摩擦力先减小后增大

B.物块A受到摩擦力的功率先减小后增大

C.当角速度为5rad/s时，物块A受到的摩擦力大小为5√3N

D.当角速度为5√2rad/s时，物块A将相对转台滑动

例题：如图所示，

半径R＝1m圆弧形金属杆（1/3圆弧）可绕竖直方向的虚线轴在水平面转动，圆弧形杆关于转轴对称，在杆上穿着一个物块（可看成质点），若杆光滑，当金属杆以某一角速度ω₁匀速转动时，物块可以在杆上的a位置与杆相对静止一起转动，a位置与圆弧杆圆心的连线与竖直方向的夹角为30°，当金属杆以另一角速度ω₂转动时，物块可以在杆上的b位置与杆相对静止一起转动，b位置与圆弧杆圆心的连线与竖直方向的夹角为60°。重力加速度g＝10m/s²。

（1）求ω₁与ω₂的比值；

（2）若杆粗糙，有A、B两个完全相同的物块，两物块与杆间的动摩擦因数均为μ＝1/2√3，杆转动时，两物块是否能够分别在a、b两个位置与金属杆相对静止一起转动，若能，求出杆转动的角速度范围；若不能说明理由。（答案保留根号）

例题：如图所示，

AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10m/s²）（）

A.2rad/s

B. 2.5rad/s

C.3.5rad/s

D.4rad/s

例题：如图，

半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台统过容器球心O的坚直轴线以角速度ω匀速转动。质量相等的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止。A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α、β，α＞β。则下列说法正确的是（）

A.A受到的向心力大于B受到的向心力

B.容器对A的支持力一定小于容器对B的支持力

C.若ω缓慢増大，则A、B受到的摩擦力一定都増大

D.若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向下的摩擦力

例题：如图所示，

A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心O。两球用轻质铰链与长为L（L＞2R）的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，M、N、P三点分别为圆轨道上最低点、圆心的等高点和最高点，重力加速度为g。

（1）对A球施加一个始终沿圆轨道切向的推力，使其缓慢从M点移至N点，求A球在N点受到的推力大小F；

（2）在M点给A球一个水平向左的初速度，A球沿圆轨道运动到最高点P时

速度大小为v，求A球在M点时的初速度大小v₀；

（3）在（2）的情况下，求A球运动至M点时圆轨道对A球的作用力大小FA。

例题：小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。

（1）求球落地时的速度大小v₂；

（2）绳能承受的最大拉力为多大？

（3）绳能承受的最大拉力与第（2）小问结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，求球抛出的最大水平距离。