解读绝对值

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绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础。绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组）、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手：

1.去绝对值的符号法则：

①丨a丨=a（a>0）；

②丨a丨=0（a=0）；

③丨a丨=-a（a<0）。

2.绝对值的基本性质：

①非负性：丨a丨≥0；

②丨a丨丨b丨=丨a丨丨b丨；

③丨a/b丨=丨a丨/丨b丨（b≠0）；

④丨a²丨=丨a²丨=a²；

⑤丨a+d丨≤丨a丨+丨b丨；

⑥丨丨a丨-丨b丨丨≤丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；

3.绝对值的几何意义：

从数轴上看，丨a丨表示数a的点到原点的距离（长度，非负）；丨a-b丨表示数a、数b两点间的距离。

例题1：

（1）已知丨×丨=5，丨y丨=1，那么丨丨x-y丨-丨x+y丨丨=______。

（2）非零整数m，n满足丨m丨+丨n丨-5=0，所有这样的整数组（m，n）共有______组。

解题思路

（1）可以对x，y的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解。

因为丨×丨=5，丨y丨=1，所以×=±5，y=±1。那么丨丨×-y丨-丨×+y丨丨=丨±2丨=2。因此（1）题的答案是2。

（2）从把5拆分成两个正整数的和入手。

因为丨m丨+丨n丨-5=0，得出：①m=±1，n=±4；②m=±4，n=±1；③m=±2，n=±3；④m=±3，n=±2。所以整数组（m，n）共有16组。因此2题答案是16。

例题2:

已知丨ab-2丨与丨b-1丨互为相反数，试求代数式

的值。

解题思路

运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a，b的值。

因为丨ab-2丨与丨b-1丨互为相反数，得：

丨ab-2丨+丨b-1丨=0，所以a=2，b=1。

把a=2，b=1代入代数式，得

所以代数式的值是

例题3：

化简：

（1）丨2x-1丨；

（2）丨x-1丨+丨x-3丨。

解题思路

（1）就2x-1≥0，2x-1<0两种情形去掉绝对值符号。

①当x≥1/2时，丨2x-1丨=2x-1；

②当x<1/2时，丨2x-1丨=1-2x。

（2）将零点1，3（使x-1=0，3-x=0的值）在同一数轴上表示出来，就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论。

①当x<1时，原式=1-x+3-x=4-2x；

②当1≤x<3时，原式=x-1+3-x=2；

③当x≥3时，原式=x-1+x-3=2x-4。

综上所述，脱去绝对值符号是解绝对值问题的关键，常见的形式有：

（1）由已知条件脱去绝对值符号；

（2）从数轴上“读取”相关信息脱去绝对值符号；

（3）运用分类讨论法脱去绝对值符号。