拱桥那些优美的曲线怎么来的？

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00引言

拱桥作为人类历史上最伟大的发明之一，发展至今已有几千年的建造历史。早在建筑材料以抗压强度较高、抗拉强度较低的砖、石等圬工材料为主的时代，拱桥便因以受压为主的结构特性，可以充分发挥圬工材料的性能，在相当长的时期内，圬工拱桥始终是当时大跨径桥梁的主要结构形式。

现代拱桥，随着新材料的不断创新与发展，混凝土、钢材、钢管混凝土等轻质、高强材料的应用，再加上施工装备和技术水平的不断提升，拱桥的跨径已经实现了跨越式发展。在建的劲性骨架混凝土拱桥广西天峨龙滩特大桥，主跨跨径已经达到600m；在建的钢桁拱桥重庆凤来特大桥，主跨跨径已经达到580m；已建成的钢管混凝土拱桥广西平南三桥，主跨跨径已经达到575m；此外，关于700m级钢管混凝土拱桥、1000m级钢拱桥和超高性能混凝土拱桥的研究也已日渐成熟，拱桥发展不断向着大跨和轻型方向迈进。

拱桥在发展过程中取得显著成就的同时，也诞生了新的问题。得益于材料愈发轻质、高强，主拱截面具备一定的抗拉承载力，大跨拱桥不仅结构体系、恒载分布、连接构造等方面呈现出复杂性与多样性，施工方法也同样灵活多样。大跨拱桥是否还需要合理拱轴线值得讨论。

01拱桥的压力线

拱桥自应用以来其设计中亟需解决的关键问题是：选择何种类型的拱轴线和如何确定拱的截面厚度（简称拱厚）。胡克给出的答案是：将悬索倒立，就得到了站立的拱，如图1所示，即倒悬链理论。基于对早期圬工拱桥破坏模式的认识与总结，工程师进一步探索了拱桥的压力线理论，明确了拱轴线与荷载压力线的偏离对结构产生的影响，尤其是对于圬工拱桥，提出了拱的安全设计方法，即对应于某一荷载分布，总能找到最小拱圈厚度使其恰能包含使主拱成为临界破坏状态的荷载压力线，在最小拱圈厚度的基础上考虑一定的安全系数（一般为3）完成拱的截面高度的设计，以期实现主拱任意截面始终处于全截面受压的内力状态，形成了工程上传统的圬工拱桥设计时的“1/3核心矩法”，如图2所示。

图1 胡克悬索倒置理论

图2 圬工拱桥1/3核心距法

压力线理论发展成熟后，拱桥设计通常以恒载压力线作为合理拱轴线，恒载占比越高，以恒载压力线作为拱轴线就越合理，而恒载压力线则是由拱桥恒载分布模式（恒载大小与分布形式）决定的。

恒载分布模式能够决定合理拱轴线，同样合理拱轴线的选择能够指导拱桥设计，包括主拱截面面积变化规律和拱上建筑结构选型和布置等。圆曲线拱轴线的主拱圈在制造加工技术相对落后的时代，更便于施工，被广泛应用于圬工拱桥中，而实腹式的圬工拱桥，对应其恒载分布模式的合理拱轴线应为悬链线，为了适应圆曲线拱轴线，智慧的工匠们一定程度上对恒载分布模式进行了调整。

以赵州桥为代表的敞肩圆弧拱，通过在拱脚处设置腹拱，减轻了圆弧拱拱脚处的恒载集度，从而使得恒载压力线与圆曲线拱轴线接近重合（图3）。以苏州灭渡桥为代表的我国南方石拱桥则通过“驼峰式”的布载方式，增大了半圆拱拱脚处的恒载集度，减小了恒载压力线与拱轴线的偏离（图4）；以卢沟桥为代表的我国北方石拱桥则是通过增大拱圈厚度，提升了结构安全储备。相较于活载、温度变化等外荷载作用，圬工拱桥恒载占比大，通过合理拱轴线的选择，结构具有较大的恒载压应力储备，从而能够抵抗外荷载的扰动作用，最终屹立千年而不倒。

图3 赵州桥

图4 苏州灭渡桥

从压力线理论的发展中可知，研究拱桥的合理拱轴线，对提升大跨拱桥的力学性能、经济性和安全性，以及优化拱桥设计等均有重要的意义。

02大跨拱桥的恒载分布模式与合理拱轴线

2.1大跨拱桥的恒载分布模式

大跨拱桥结构轻型化，多采用空腹的结构形式，相较于实腹式圬工拱桥，主拱主要承受其自重，及以集中力形式作用于主拱的拱上建筑恒载与二期恒载。由于主拱结构组成与布置形式复杂多样，主要的恒载分布模式可以分为三类。

（1）恒载分布模式一：变截面主拱及恒载非满跨布置大跨拱桥主拱多采用变截面的形式，从拱脚至拱顶主拱截面面积逐渐减小，主拱自重作用模式复杂，此外，部分中承式拱桥拱上建筑恒载非满跨布置。如图5所示，成贵铁路鸭池河特大桥，为主跨436m的中承式提篮拱桥，拱轴线采用拱轴系数为3.5的悬链线，拱肋为变高钢-混桁架结构。采用3种混合形式，从拱脚至拱顶依次为，拱脚区域采用全包混凝土组合结构，中间过渡段采用上、下弦钢－混组合结构；拱顶区域上弦采用钢－混组合结构；下弦采用钢结构。如6图所示，渝贵铁路夜郎河大桥，为主跨370m的上承式钢筋混凝土提篮拱桥，拱轴线采用拱轴系数为5.0的悬链线，拱脚采用单箱单室断面，拱顶区域主拱合并为单箱三室断面。大跨拱桥主拱恒载和拱上建筑恒载分布模式均较为复杂。

图5 成贵铁路鸭池河特大桥

图6 渝贵铁路夜郎河大桥

（2）恒载分布模式二：非对称山区高、低拱桥布置已建成的拱桥中，大多采用拱脚位于同一高程的结构型式，即对称布置。然而，实际工程中，桥址可能会选在地形起伏较大的山区，导致拱桥两拱座的选址可能会出现较大的高差。为了减少施工开挖对环境的破坏，采用高低拱座的非对称式拱桥。如图7所示，张吉怀高铁酉水河大桥，主跨292m，两拱脚高差为43.5m，两半跨设计上分别采用拱轴系数为1.9、1.6的悬链线。如图8所示，宜来高速溇水河大桥，主跨310m，两拱脚高差为36m，经过比选最终两侧半跨统一采用虚拟跨径340m的、拱轴系数为1.7的悬链线拱轴线。非对称式拱桥的两个半拱的跨径、矢高、矢跨比以及恒载分布均不相同。

图7 张吉怀高铁酉水河大桥

图8 宜来高速溇水河大桥

（3）恒载分布模式三：大跨拱桥拱上立柱布置跨径超过400～500m后，拱桥以上承式和中承式为主，拱脚高立柱会成为大跨拱桥设计的控制因素。因此，大跨拱桥设计中应避免布置高立柱。工程中，目前通过设计T构或连续刚构，将主桥和引桥桥道结构连接起来，以达到减少高立柱的目的。如图9、图10所示，广西天峨龙滩特大桥与沪昆高铁北盘江特大桥均采用T构连接主桥和引桥，拱脚最高立柱高度分别为70.3m、58.71m。此外，拱上立柱也可以采用非等间距布置的形式，以减少立柱的数量，大跨拱桥拱上建筑恒载集中力离散性大。

图9 广西天峨龙滩特大桥

图10 沪昆高铁北盘江特大桥

2.2大跨拱桥的合理拱轴线

大跨拱桥恒载分布模式复杂，调整恒载分布不易，宜根据实际的恒载分布模式求解恒载压力线作为合理拱轴线。现有的合理拱轴线计算方法，与早期的压力线理论的研究一脉相承，拱桥设计遵循的基本原则大致相同，即主拱受力合理（以受压为主）、线形美观和施工简便等。合理拱轴线的计算方法主要分为曲线拟合法和解析方程法。曲线拟合法，即任意给定一条初始拱轴线，通过一定的数学方法，反复迭代计算得到控制点的坐标，进而通过高次抛物线或样条曲线拟合出一条与压力线偏离较小的曲线作为合理拱轴线，实现拱轴线与恒载压力线多点重合。

曲线拟合法的本质是采用数学方法，结合程序算法，进行拱轴线优化设计。解析方程法，通常以三铰拱作为计算模型，主要包括确定恒载分布模式、建立合理拱轴线方程、求解合理拱轴线方程三个步骤，相较于曲线拟合法其物理意义更为清晰。采用解析方程法，能够将合理拱轴线用结构设计参数表达，对直观地研究设计参数与合理拱轴线之间的关系，优化主拱和拱上建筑结构的布置与选型，以及拱桥初步设计等都有重要的意义。解析法求解对拱桥恒载作用模式有较高的要求，对于恒载分布模式一与分布模式二，通常需要将拱上建筑的集中荷载等效连续化后再求解；对于恒载分布模式三其拱上建筑的集中荷载离散性大，可以分别求解主拱与拱上建筑恒载作用下的恒载压力线方程，再根据拱脚水平推力的占比进行线形叠加。

03拱桥施工方法与合理拱轴线

拱桥只有在主拱合龙形成整体后，才能发挥结构以受压为主的受力特点，具备一定的承载力，而在施工过程未合龙之前，结构往往不具备承载力。因此，通常需要借助各种临时设施如支架、斜拉索等辅助受力。大跨拱桥施工过程中，作用于主拱恒载的叠加次序与结构体系转换等，对拱桥的合理成桥状态有较大的影响。

3.1支架施工与合理拱轴线

早期的中、小跨径拱桥施工采用落地支架施工。对于大跨拱桥，目前多采用以斜拉扣挂系统作为临时支架、以缆索吊装系统或桥面吊机作为起重设备的施工方式。此外，以美兰法为雏形的劲性骨架法施工在我国迸发出了旺盛的生命力，相比于型钢骨架将钢管混凝土拱作为劲性骨架实现了技术创新，先通过斜拉扣挂、缆索吊装系统施工埋置的CFST劲性骨架，待合龙后再以其作为支架浇筑外包混凝土。落地支架施工在支架刚度与承载力有保证的前提下，通过预拱度的考虑,能实现较好的成桥拱轴线控制；斜拉扣挂施工，利用零弯矩法、零位移法、优化分析法，对部分斜拉索进行斜拉扣挂调载也能保证合理成桥内力状态。

3.2悬臂施工与合理拱轴线

悬臂施工能够充分利用主拱施工中已建成的结构，通过少量的临时设施，形成悬臂桁架结构，其中主拱作为桁架下弦，立柱作为桁架竖腹杆，斜向临时拉索作为桁架斜腹杆，桁架的上弦根据拱桥结构形式的不同，可以是临时水平拉索作为上弦。如图11所示，克罗地亚Krk桥,跨径为390m的混凝土拱桥，采用悬臂桁架法施工；对于梁拱组合体系,预应力混凝土桥道梁也可作为上弦,该施工方法下，主拱与拱上建筑(立柱、桥道梁)同步施工,恒载同步叠加。

图11 克罗地亚Krk桥施工

对于钢桁拱桥，通过部分支架及斜拉索的布置，施工过程中主拱自身可以形成悬臂桁架。如图12所示，狱门桥主拱跨径146m，拱顶桁高为5m、拱脚桁高为16.2m的下弦杆铰接的两铰拱，下弦杆拱轴线均采用抛物线、上弦杆拱轴线为抛物线+圆曲线，采用悬臂拼装法施工，上弦杆通过连接地锚索施工过程中受拉、下弦杆受压，在拱脚处设少量扣挂体系辅助主拱悬臂施工。如图13所示，悉尼港湾桥主拱跨径503m，为拱顶桁高为18.3m、拱脚桁高为57.9m的下弦杆铰接的两铰拱，采用了狱门桥相同的结构设计与施工方法，施工时仅设置了与上弦杆连接的地锚索。

图12 狱门桥施工

图13 悉尼港湾桥施工

以狱门桥为代表的拱桥设计与悬臂施工，部分杆件受力按照施工过程控制，尤其是上弦杆件。此外，为适应悬臂施工，拱脚也需要较大的桁高。成桥后结构以下弦受力为主，上弦杆作为安全储备主要起加劲作用。

这种施工方法虽然一定程度上牺牲了拱轴线，从结构成桥受力状态看结构设计也略显不经济，但其既大幅降低了施工临时措施费用，又提高了结构安全储备，因此，依然是一种极具竞争力的拱桥施工方法。大跨拱桥材料轻质、高强，但依然需要通过合理拱轴线的选取，来实现以最小的材料用量，获得最大的截面刚度与抗力。

此外，为具有抵抗活载、温度等外荷载扰动作用的恒载压应力储备，大跨拱桥要具有一定的恒载占比。大跨拱桥恒载分布模式复杂、多样，但依然可以通过解析法中的等效分布荷载法与线形叠加法，求解得到适用于大跨拱桥恒载分布模式的合理拱轴线，实现恒载分布模式与拱轴线之间的协调匹配。

大跨拱桥施工方法灵活多样，其发展趋势始终是用尽量少的施工临时措施费用，保证合理成桥内力状态。主拱悬臂施工虽然一定程度上牺牲了合理拱轴线，但其既大幅降低了施工临时措施费用，又提高了结构安全储备，依然是一种极具竞争力的拱桥施工方法。

本文刊载 / 《桥梁》杂志2023年 第4期