相关系数是用来衡量两个变量间的线性关系，取值范围为-1~+1。相关系数为正表示变量间正相关（一个增长，另一个也增长），为负则表示负相关（一个增加，则另一个减少），越接近于0则表示关系越弱。

两个观测值序列X与Y间的相关系数定义如下：

相关系数定义式

注：其中Cov表示协方差，std表示标准差

相关性 vs 协方差

相关性是协方差标准化后的形式，在部分场合下两者是可以互换的，但本质上还是不同的。

我们先来看看如何获取两个变量X,Y之间的协方差：

示例代码

可以看到这里通过‘[0][1]‘来获取了最终的结果，这里就要引入协方差矩阵了，协方差矩阵包含了任意两元素的协方差，正对角线上表示一个元素与其自身的协方差(也就是其方差，COV(X,X)=var(X))，据此，相关系数的表达式又可有如下的表示：

相关系数定义式变换

相关系数就是协方差使用X与Y的标准差进行标准化的结果，对应于协方差矩阵，也就存在对应的相关系数矩阵。

示例

接下来我们通过构造数据来观察下相关系数矩阵：

第一步，我们构造一个存在线性关系的X与Y来看一看

协方差矩阵与相关系数矩阵

注：可以看到最终相关系数矩阵中元素全部为1

绘制出的图形中所有所有的店都在一条直线上

绘制图形

第二步，我们在X上加入人为的噪声数据，噪声数据我们通过np.random.normal()函数生成一个均值为0，标准差为0.1的正态分布序列，从散点图上可以看出，已经在线性的基础上发生了一些偏离

加入噪声数据后

此时，我们再计算一下相关系数矩阵：

引入噪声后相关系数矩阵

注：可以看到X与Y的相关系数已经从1下降为0.94

第三步，我们将噪声数据偏离程度再加大写，标准差由0.1调整为0.2，再来看看现在的散点图

加大噪声数据后散点图

可以看到线性关系变得更加不明显，再次来计算下相关系数矩阵

噪声加强后的相关系数矩阵

可以看到相关系数确实进一步降低了。

相关系数在金融中的应用

一旦我们从序列数据中找出了关联性，就可以利用其去预测未来的资产价格。通过苹果公司(AAPL)与半导体制造商泛林（LRCX）股票价格数据，可以得到其之间明显存在线性关系。

示例代码

绘制出得散点图也可看出明显的线性关系：

散点图

同时，在构建投资组合时，通常为了降低组合风险程度，保持组合收益的稳定性，需要引入非关联性资产。

相关性分析使用限制

相关性分析是金融分析中一个强有力的工具，但是其也有很多使用的限制

1. 显著性

   很难严格地去断定相关性是否显著，尤其是变量不满足正态分布时。例如上文中苹果与泛林间相关系数很接近于1，可以认为在选定的时期内两者的股价线性关联很强，但是未来是否还会保持这种线性关系，不得而知。。我们如果引入标普500ETF的价格数据，可以发现苹果、泛林都与其有很强的相关性，所以只能说苹果与泛林间的线性关系略高于普通股票而已。

   

   示例代码

2. 非线性关系

   相关系数可以有效的检查两个变量间的线性关系强弱，但是对于非线性关系则不能很好的处理，例如一个变量会随另一个变量变化，但存在时间上的延迟，这块就需要专门的延时相关性分析去处理。

同时，相关性分析对于异常值还非常敏感，一旦出现异常值，会对最终结果造成很大的影响。

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