数学家们的美好理想，全被哥德尔打破

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不管是哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，数学家们在证明的时候，估计哥德尔都在旁边得意的笑。

哥德尔

为啥呢？因为哥德尔不完备定理。

20世纪初的时候，以希尔伯特为首的数学家们有一个梦想，就是证明数学是自恰的。

什么叫数学是自恰的呢？就是数学这个体系可以做到，在以一定的公理出发，在数学逻辑的运行下，推论出来的所有的定理，都是相融的，不会出现自相矛盾的地方。

但是哥德尔，一个奥地利逻辑学家，却用他的不完备定理，打破了数学家们的美好理想。

哥德尔不完备定理说的是，任何一个自恰的数学系统，必然包含了系统里的公理定理，无法证明也无法证伪的命题。

举个简单的例子，一个火星人说，所有火星人都是说谎的。好了，那么请问这句话到底是真是假。如果这句话是真的，那么就说明确实所有火星人都是说谎的，那么这个火星人说的这句，所有火星人都是说谎的，这句话是一句谎话，那么也就是火星人是不说谎的，那么也就是这句，火星人都是说谎的这句话，是句真话。那么这个火星人还是在说谎，这样下去就没完没了了，也就是这句话，无法被判断到底是真是假。

当然你可能觉得，这就是个文字游戏，是个小聪明。 那么就来看看哥德尔的证明。

我们知道，数学定理的推导，都是从公理出发，经过数理逻辑的推导，可以推导出来很多定理。

比方说欧几里得几何，其中有一条公理。就是两条平行线永远不会相交。通过这条公理能有几千条几何学的定理被推导出来。

公理是无法被证明的，只能是不证自明。你只能认为这条公理是对的，在这个基础上开始推导。

好了，我们知道计算机其实是用0和1表达所有的信息，也就是我们可以设计这样一个规则。

给每个公理、定理编个号，我们设计这样一套系统，这个系统里，所有的公理，我们用一个素数代表，每个由公理推导出来的定理、命题，也用一个数字代表，并且是个合数，它可以拆成几个素数的乘积，也就是能被公理推理出来的问题，能写成那几个公理所对应的素数的乘积。

好了，现在假设我有一个自恰的数学系统，里面有若干条，但是是有限条公理，都用素数代表。

现在我来看这样一个命题，这个命题是这样说的。本命题不能由系统里的公理推导出来，那么请问这条命题是真命题还是伪命题？

先假设它是伪命题。也就是说这条命题可以被这些公理证明，那么它必然是个合数。也就是说，你可以证明这条命题说的”本命题不能被这些公理推导出来”是真的，那么也就是说，这个命题对应的数字，应该是个素数，也就与一开始，这个命题是个合数相矛盾，也就是这条命题不可能是伪命题。

所以这条命题，只能是真命题。

也就是这条命题对应的数字，一开始就应该是一个素数，这样才能让这条命题自恰。

好了，既然它是素数，它就应该被归类到刚才的那些公理当中去，成为一条新的公理。也就是说你现在多了一条公理，那么现在就可以如法炮制了。

我再举一个命题叫”本命题不能被刚才多了一个公理的系统里的公理推导出来”，那么根据刚才的操作，这条新的命题，也应该是一个新的公理，应该被归到你的公理当中去，这样一直下去，你就会得到无限个公理。

这就是哥德尔不完备定理的证明。啥意思呢？就是数学系统里的公理，有无限个不可能用有限的公理推导出所有的数学定理。

所有人类以有限的时间，找到的有限个数学公理，永远不可能把数学全息，数学永远无法自恰。

并且很多著名的数学命题，比方哥德巴赫猜想、黎曼猜想，这样猜想类的命题，试起来都对，但是我们迟迟证明不了它，可能不是因为它难，而很有可能是因为它其实是一条公理，你去验证怎么都正确。因为公理是永远无法被证明的，只能够被验证。

所以说哥德尔作为一个逻辑学家，用简单的逻辑就证明了数学家们的努力是永无止境的。

这也挺好的，数学家永远都有工作，看来还是我们物理学家舒服一点，即使物理的真理也是无穷的，但是我们毕竟受制于我们的感知能力，所以我们物理学家的工作应该不会是永无止尽的，我们的极限，就是我们的感知极限。

哥德尔不完备定理还是比较绕，弄不懂的话，就多看几遍吧。

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