例说“双标限定”中求和顺序的交换

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例说“双标限定”中求和顺序的交换

冯跃峰

在“组合求和”中，交换求和顺序，是一种常见变形方式。如果求和限定只涉及一个参数，则我们称之为“单标限定”的求和形式。

对于“单标限定”的多层组合求和，交换求和顺序是非常简单的，直接交换求和符号的位置即可。比如：

如果求和限定涉及多个参数，则我们称之为“双标限定”的求和形式。

“双标限定”的求和形式中，参数限定的一般描述为：f（i，j）具有性质p，比如：i+j≤n，i<j等等。

值得指出的是，“双标限定”在单一求和中的意义是不明确的。比如，你能看出

表达的是什么意思吗？

如果是对i、j求和，则S表示：k的约数对（i，j）的个数；如果是对数对k求和，则S表示：i、j的公倍数的个数。

因此，双标限定通常出现在多级求和的内层中，其一般形式为

因为外层的流动参数为i（对i求和），求和过程使内层的参数i相对固定，从而内层的流动参数为j（对j求和）。

比如，多级求和

中，因为外层对k求和，当k取定后，假定k=3，则内层表达的意义是：3的约数对（i，j）的个数。

对于含有双标限定的求和顺序的交换，并非简单地交换求和符号的位置，需遵循下述规则。

将外层的流动参数i移到内层时，还必须同时受到内层求和对i的限定，所以需取两个限定的交集，作为对i的新限定。将内层的流动参数j移到外层时，还必须同时考虑外层求和中j的流动，所以需取两个限定的并集，作为对j的新限定。

简言之：内到外求并；外到内求交。

下面以矩阵的“上三角”求和为例说明之。

如何交换其求和顺序？有些同学对此很难准确把握，其实很简单，只需按照前述规则进行即可，无需借助几何直观。

为便于计算两个限定的交与并，先将限定换成集合的“描述表示”形式：

将内层的j移到外层，由1≤i≤n，i≤j≤n求并，得

将外层的i移到内层，由1≤i≤n，i≤j≤n求交，得i∈[1，n]∩[1，i]=[1，i]，

下面介绍一个数论中涉及“双标限定”组合求和的例子。

【述评】本题非常优美，其结论仅与x1相关（其它项可任意取值），这几乎不可思议！这也是造成一些人解题失败的重要原因。

虽然它的样子非常吓人，但实际上是只“纸老虎”。比如，官方给出的解答本身就很简短，可谓寥寥数语，一气呵成[1]：

但过细一看，其组合运算也有点吓人，相关符号的含义比较抽象。假设你读到这个解答，你会怎样处理？

常言道，他山之石，可以攻玉。但数学阅读，也颇有讲究，通常可分为3个层次[2]：第一个层次是读懂。如果读不懂，则说明存在知识的缺陷，需要完善。

对于本题，如果你存在阅读困难，则很有可能是没有了解如下一些相关的背景知识（涉及多方面的知识，内容较为丰富）。

（1）组合求和（积）的两种表达方式

（2） “双标限定”交换求和顺序的规则（如前面所述）

（3）相关的数论知识：

公倍数的性质：“a、b的最小公倍数”整除“a、b的公倍数” （利用质因数标准分解式即可看出），由此便有

a|k，b|kk是a、b的公倍数[a，b]|k。

公约数的性质：“a、b的公约数”整除“a、b的最大公约数” （利用质因数标准分解式即可看出），由此便有

k|a，k|bk是a、b的公倍数k|（a，b）。

（4）计数公式

（5）多项式乘法规则

如果熟悉上述一些知识，读懂解答就是轻而易举的了。当然，原文排版有一处笔误：漏掉一个“平方”符号（见文[1]）。

阅读的第二层次是，弄清其解答究竟是怎样想出来的。下面，我们着重剖析上述解答的发现过程。

【题感】从条件看，它过于简单，先略去。

从目标看，局部结构是我们非常熟悉的。比如，不等式右边就是我们的老朋友：

由此想到先“去分母”，将不等式化简。

【参数转换】不等式可变成

至此，自然想到交换求和顺序，将内外层求和对i、j的限定融合在一起，分离参数以便利用多项式乘法法则。

此外，为使其限定与外层求和的限定一致，需要将对i、j限定的“捆绑形式”[i，j]|k，转换为“独立形式”：i|k、j|k（由公倍数的性质，这两个对i、j的限定是等价的）。再将其与外层求和中“i|n，j|n”求交，变成i|（n，k），j|（n，k）。

至此，已成功分离参数，可直接利用多项式乘法法则。

至此，不等式已是最简形式。现在设法代入已知条件：x1=1，这只需将x1从求和中分离出来即可。但此处有一个陷阱：不能在内层求和中分拆，而要在外层求和中分拆。这是因为xi（i>1）为实数，未必为正，无法进行“舍项放缩”。

考察左边与右边的差异，只需将左边的外层求和中分离出满足（k，n）=1的k对应的项即可，其余的项舍弃。

阅读的第三层次是创新。比如：上述解答能否简化？有没有思想相同、但表现方式不一样的新解答？能不能用这一方法解决其它问题？比如，2021年中国女子数学竞赛中的一个组合求和问题，这些都留给读者思考。

参考文献

[1] 2019年IMO中国国家集训队教练组，数学奥林匹克试题集锦（2019），p41

[2] 冯跃峰，数学阅读的三个层次，见今日头条2022-02-25文章