一、引言

求：lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

如果按照等价无穷小来替换的话

tanx~x, sinx~x

所以

lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x->0)(x-x)/x^3

=0

这是错误的用法

因为分子分母不同阶，用等价无穷小来替换的话“精度”不够，所以会造成错误

正确的解法是：

lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x->0)[tanx(1-cosx)]/x^3

=lim(x->0)tanx/x*lim(x->0)(1-cosx)/x^2

=1*1/2

=1/2

从上面的题目可以看出对于0/0型求极限用等价无穷小替换有局限性

因此引入了求(0/0型)极限的方法：洛必达法则

二、洛必达法则

1、0/0型

若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)≠0

(2)lim(x->a)f(x)=0, lim(x->a)g(x)=0

(3)lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]=A

则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A

证明：

令f(a)=0,g(a)=0，函数值对极限值无影响，所以可以取任意值

lim(x->a)f(x)=f(a)=0

lim(x->a)g(x)=g(a)=0

所以f(x),g(x)在x=a邻域内连续，去心邻域内可导且g'(x)≠0

所以f(x)/g(x)=[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(ξ介于a与x之间)

所以lim(x->a)f(x)/g(x)=lim(x->a)f'(ξ)/g'(ξ)

x->a即ξ->a

原式

=lim(ξ->a)f'(ξ)/g'(ξ)

即证！

2、∞/∞型

若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)≠0

(2)lim(x->a)f(x)=∞, lim(x->a)g(x)=∞

(3)lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]=A

则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A

证明方法同上。

例1：lim(x->0+)xlnx (0*∞转换为0/0型)
=lim(x->0+)lnx/(1/x)
=lim(x->0+)[(1/x)/-(1/x^2)]
=lim(x->0+)(-x)
=0

例2：lim(x->0+)x^sinx (0^0型=>e^ln**)
=lim(x->0+)e^(sinxlnx)
=e^lim(x->0+)sinxlnx
=e^lim(x->0+)[lnx/cscx]
=e^lim(x->0+)[(1/x)/(-cscxcotx)]
=e^lim(x->0+)(sinxtanx/x)
=e^-lim(x->0+)x
=1