关于取整函数

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取整函数

我想，所有人都见过高斯函数[x]吧，它表示不超过x的最大整数。其实，高斯函数还有个同胞兄弟，要是它冒出来，更能吓死一帮高三党。哈哈

先给个定义冒下泡。

=小于或等于x的最大整数，称为下取整函数

=大于或等于x的最小整数，称为上取整函数

蒙了没？蒙了吧。看几个例子醒醒脑。

嗯，似乎大脑有点回过味来了，这两个函数，下取整函数

就是我们的老朋友高斯函数[x]，而上取整不过是它的孪生兄弟罢了。

研究一个函数的最好办法，就是先作出函数图像。

从图像中我们可以看出一些性质。

显然，下取整函数

在y=x上或之下，上取整函数

正好相反，它在y=x上或之上，因此，第一条性质诞生了：

当然，等号成立的条件是为整数，因此，我们得到显然的第二条性质：

从图像我们也很容易得出，（不显然但容易），当x不是整数时，上取整比下取整大1。

即，第三条性质

如果我们将对角线y=x向下平移一个单位，则它完全位于下取整函数之上，也就是说

，同样我们也可以看出

加上前面的性质，我们可以得到一串不等式，算性质1的推广吧。

最后，我们还能很轻松看出，这两个函数关于原点对称，也就是第四条性质：

下面的一些性质虽然不容易从图像上看出来，但也很容易理解。

实际上只不过是将图像用代数式描述一下而已。

在取整函数中，可以将整数移进或移出函数。上取整也有同样性质。不过要注意的是，只有整数才能进出函数，一般的数，如0.5，是不能进出的。

有的时候，将取整符号去掉是一件让人心情愉悦的事。显然

证明是件轻松的事，我们不赘述。

有时候，我们不仅需要x的整数部分，还需要它的小数部分，那么我们可以这样表达

=x的小数部分

好玩吧。如果你听到歪果仁给这两个函数的命名，你会更开心。它们分别叫做ceil(x)和floor(x)，特别形象。一个叫天花板(x)，一个叫地板(x)，真是有创意！