质点系之质心

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常规的认知中，一个物体的质心在均匀重力场中等同于重心，或在直观上理解为“平衡点”、“加权中心点”、“质量中心点”等，但这些概念只是定性描述，难以捕捉到它的本质。在理论物理中，要想将质心的性质准确镶嵌在数学公式中，就要用数学的方式方法去阐述之，同时还要在实践中找到这样阐述的意义才行。

讨论的起源还是牛顿力学，其分析对象是质点，何谓质点？乃当力学分析的主要方面是物体平动时的一种抽象概念，可以理解为该物体的全部质量集中在某个空间几何点上，自转是可忽略的次要方面，这便是质点的理论含义。何谓质点系？乃是由多个质点组成的分析体系，在接下来提出质心的概念时，质点系认为是非变形质点系，即系中各质点间的相对位置不随时间发生变化。

质心的概念是基于质点系的，质心的特点是它在非变形质点系中的相对位置不变且唯一，聪明的理论物理学家根据这个特征提出质点系平均位矢的概念，用公式表示为：

式子中，Rc为物体（视为质点系）质心的位矢，ri为体系内各个质点的位矢，mi为各质点的质量。上述简单形式并非偶然，它巧妙的计算出质点系之质心的位置，且保证了质心相对位置的不变性，正因这个不变性才方便了人们对整个质点系的运动学和动力学分析。

举个例子来说明（1）式所表达的质心相对位置的不变性。下图中质点1和质点2组成一个最简单质点系，两质点质量相等，相对位置随时间不变（如图）。在参考系X-O-Y中，质点1的位矢为0，质点2的位矢为i，根据（1）式计算质点系的质心位矢为i/2；同样在参考系X-O-Y’中，计算质点系的质心位矢为0，两者为同一点，即两质点连线的中点。简单的例证说明不管参考系如何选择，或者说参考系不动，不管质点系如何运动，（1）式计算出来的质心相对位置是不变的，此相对位置不变点称为质心。

当不采用（1）式时，计算出来的质心位置则是变动的，譬如用（2）式计算，在参考系X-O-Y中，计算质点系的质心位矢为i/3；同样在参考系X-O-Y’中，计算质点系的质心位矢为0，两者所指质心位置各异，即刚体（质点系）的空间位置发生变化时，质心位置也在变动，这便与客观事实不符。

通过以上讨论我们要明白，质点系之质心必须具备相对位置不变性，这是最基本的物理事实。质心的这种不变性是牛顿质心运动定律得以成立的基础；是质点系绕轴自转时自然选择的结果。关于质心的运动，可在许多实践中得以体现。

上图中，为一个“T”型斧头的高空抛射（只受重力）运动曲线图，图中斧头的质心用黑点标出，由图可见，质心运动轨迹为一条完美的抛物线（红线），这又佐证了牛顿运动定律本质上是一个针对质点系之质心的定律，而斧头尾巴处不是质心，它的运动轨迹（如图）便不符合牛顿运动定律，这便又引出一个思考：质点系的质心位置处的微分单元是不受体系内力的！