神秘的常数e和π的超越性证明

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上一篇给出了常数e和π是无理数的证明，前面说了超越数的证明比无理数的证明要困难地多，100年后，1873年法国数学家埃尔米特证明了e是超越数，其过程中的一个定理后来发展成著名的林德曼-魏尔斯特拉斯定理，这个定理的强大之处在于可以证明一系列数是超越数，从而让e和π的超越性可由该定理直接导出。回忆前面证明e是无理数的方法，是根据一个e的无穷级数，利用反证法假设e是有理数，即可建立关于有理数的方程，而有理数经通分就是整数，所以最终是通过关于整数的方程推出矛盾。证明超越性的困难在于，假设e是代数数，它是某一多项式的根，无法像有理数一样把它写成两个整数之比。

我记得有数学家说过，要是缺点灵感，就去读读19世纪的数学。我觉得学习数学，不能抛开数学的发展史。在西方，数学专业拿的是文学学士，这也佐证了我的一个观点。相比数学和科学的距离，我认为数学离文学更近。数学中所研究的对象并不是自然界存在的对象，而是人的意识所创造的。所以很多科普博主是把数学和物理、化学甚至工科中的人工智能融在一起，而我更倾向于将数学和文学、心理学相融合，这也意味着我所介绍的数学是纯粹数学而不会是应用数学。数学研究有其逻辑的成分也有其直觉的部分。从心理学荣格八维的角度看，有的人是直觉主导、有的人是逻辑主导，他们所呈现的数学也是不同的。我个人是直觉先于逻辑，所以更倾向于一针见血直指本质的内容。下面介绍如何证明e是超越数，所用的证明方法比较初等，只需会一点微积分就可以理解。

证明：反证法，假设e为某个n次整系数多项式g(x)的根，

接下来一步很关键，对于任意的多项式p(x),假设最高次为r，构造多项式P(x),

到这儿，我们的证明已经完成百分之八十了，后面只是一个技术性的验证。很多时候我们看别人的证明能看懂，但是自己却不能找到证明的方向，这是为什么？那就是没有思考别人为什么要这样做？数学家为何要构造P(x)这样的多项式？注意上式是个恒等式，也就是不论e是不是超越数上式都成立。只不过当e是超越数时，其中的式子

只要e是超越数，这个式子必然能推出矛盾。现在的问题是通过什么方式推出矛盾。回忆证明e是无理数的过程，通过等式两边一个是整数一个是小数推出矛盾。有的读者会思考，存不存在两边是不同整数的情况，使我们推不出矛盾。这种情况不存在，因为若e是超越数，将它代入到整系数多项式里一定是小数，若是整数，那我们让这个多项式减去该整数，还是个整系数多项式，那么e就不是超越数了。

这个多项式的特点是1,2,…,n处是q重根，在0处是q-1重根，可以推出（1）式左边是个非0整数。最后的工作就是推出右边是个小于1的数了，比较简单留给读者思考。

在e是超越数被证明之后，林德曼很快证明了π是超越数，沿用了埃尔米特的方法，e和iπ通过一个很经典的公式欧拉公式联系起来,林德曼证明了iπ是超越数，那么π必然是超越数了。

再过了几年，一个更一般的结论出现了，由它可以导出一系列数是超越数，它就是林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

随着π是超越数被证明，困扰人类几千年的数学问题化圆为方问题被彻底解决。