微积分的核心思想

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微积分就是微分和积分的合称；为两个动作，就是划分和组合。

微分：微，微小；分，划分；微分是指把整体划分成很多微小的部分。

积分：积，堆积；积分是指把微小的部分堆积起来。

微积分就是把整体划分成很多微小的部分，这些微小的部分是我们所熟悉的，能处理的部分；等我们处理完毕这些微小的部分，然后把结果累加起来，还原成整体，最终得出近似结果。因为微小的部分可以无限小，无限接近于0，微积分永远是近似值。

为什么要这么做呢？这是人们只会处理简单事情，只能化繁为简，把复杂的问题化简成简单的问题处理，再复原成复杂的问题。

我们生活中处处都是复杂的实例，比如下图的人行道，请问你怎么计算这段路程的长度？这段道路利用长方形木板铺路，要想知道人行道路程有多远，只要人们记下脚下的模板个数，然后乘上木板的宽度就行了，这里的木板宽度是直线。当然你可以用尺子一段一段路程测量，这里的一段是直线，因为人们只懂直线的测量方法。

同理下图的盘山公路，人们只要记下路中间白线个数，然后乘上白线间距就清楚这段公路的历程了，这里白线的间距是直线，可以直接测量得到。当然你可以拿着利用三维坐标仪，一段一段的测量，同样这里一段也是直线距离。这些复杂的问题人们都是把曲线划分为直线处理做处理的。这就是划分和组合的运用，就是微积分中的化为微小部分，处理微小部分，再把微小部分累加还原，这就是微积分的基本思想。

数学来源于实际生活，但为了更具有普遍性，都进行了高度抽象，这样就可以处理更复杂的问题，更具有普适性。接下来我们从形象的几何入手，最后在到抽象的代数，了解了微积分的最基本的思想。

在生活中我们经常遇见如下图的曲线，那么我们怎么求出它们的长度呢？我们只有一种方法就是在曲线上设置很多点位，然后测量相邻两点的距离，这里相邻两点的距离是直线距离，然后累加计算之和；这里的思想也是把曲线分割许多微小的部分，计算微小的长度，最后再把微小的部分积累起来。只要划分的足够小，足够多，就能带到自己想要的精确长度。

这个曲线在几何上是X 坐标和Y坐标点的某种关系的合集，属于几何图形；当然这样曲线也有自己的解析式，例如y=axn+bxm+c。图中直线P0P是这段曲线在P0点的切线，切线P0P就可以代替曲线P0P；而某一点的切线为y/=anxn-1+bmxm-1。由此推理，需要求曲线P0P的长度，转化求切线P0P的长度。那么曲线对应的解析式为y=axn+bxm+c，转化为切线方程y/=anxn-1+bmxm-1。

由于我们脑海只能呈现二维和三维的几何关系，高纬度的几何关系我们脑海无法呈现，但是一旦几何图形有转发为高度抽象的解析式，就摆脱了想象的拘束。

所以不管多么复杂，核心思想就是对其划分再合并，划分就是寻找直线的过程，也是切线的过程；合并就是把直线的结果合并起来，近似还原本来面目。