有限元基础：模态测试与分析中的基本概念

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来源：百度文库《模态测试与分析基本概念》

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模态假设

模态假设包括：线性假设、时不变性假设、互易性假设、可观测性假设。

• 线性假设：结构的动态特性是线性的，就是说任何输入组合引起的输出等于各自输出的组合，其动力学特性可以用一组线性二阶微分方程来描述。
• 时不变性假设：结构的动态特性不随时间变化，因而微分方程的系数是与时间无关的常数。
• 可观测性假设：这意味着用以确定我们所关心的系统动态特性所需要的全部数据都是可以测量的。
• 互易性假设：结构应该遵从Maxwell互易性原理，即在q点输入所引起的p点响应，等于在p点的相同输入所引起的q点响应。

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EMA、OMA、ODS

试验模态分析（Experimental Modal Analysis, EMA）

• 力锤激励EMA技术
• 激振器激励EMA技术

工作模态分析（Operational Modal Analysis, OMA）

工作变形模态（Operational Deflection Shape, ODS）

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SISO、SIMO、MIMO

• SISO：设置1个响应测点，力锤激励遍历所有测点，也称为SRIT。
  
• SIMO：设置若干响应测点，力锤激励遍历所有测点，也称为MRIT；用一个激振器固定在某测点处激励结构，测量所有测量自由度的响应，经FFT快速测量计算FRF。
• MIMO：用多个激振器激励结构，测量所有测量自由度的响应，经FFT快速测量计算MIMO-FRFs，输入能量均匀，数据一致性好，能分离密集和重根模态，在大型复杂或轴对称结构模态试验尤为重要。

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模态分析基本步骤

• 建立模型：确定测量自由度、生成几何、确定各类参数：BW，参考点、触发等。
  
• 测量：FRF，（时域数据可选）。
• 参数估计：曲线拟合、参数提取。
• 验证：MAC、MOV、MP等。

锤击法测试流程

激振器随机激励测试流程图

无论是锤击法测试还是激振器测试，都需将捕捉到的时域数据通过FFT变换转换到频域。FFT变换为输入和输出信号提供线性傅立叶谱（注意这些函数都是复值函数）。这将提供输入自谱(Gxx)，输出自谱(Gyy)和输入-输出的互谱(Gyx)。这三个谱使用各自的时域数据进行平均。一旦得到Gxx、Gyx和Gyy，那么就可计算频响函数和相干了。

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测点布置原则

总原则：需要测量足够数目的测点，使得能唯一地描述所有你想获得的系统模态振型。

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空间混叠

空间上布置的测点数目过少，造成多阶（>=2）模态振型相同，不能唯一区别关心的各阶模态振型。

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几何模型的作用

表征测点的位置，非结构模型，线框模型，非实体模型，用于表征振型动画。

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节点

节点位置是响应为零的位置。

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触发、预触发

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力锤法和激振器法的不同之处

力锤激励：

• 人工激励，受人为因素影响严重；
• 设备简单，移动方便，不影响试件的动态特性；
• 快速地宽频带激励。

激振器激励：

• 难于安装，操作复杂，存在附加影响；
• 有多种激励信号可供选择，且激励信号已知；
• 经常用于大型复杂结构；
• 适当选择激励信号能改善线性结构的测量结果；
• 结构存在非线性时，选择适当信号既可以把非线性平均掉。

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力谱

力脉冲的自谱

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平均

• 力锤法：每个测点位置锤击的次数。
  
• 激振器法：激励信号重复激励次数。

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参考点、参考点选择的原则

• 不能位于所关心的模态的节点上；
• 参考点处的振动量要显著；
• 先验知识、分析模型等；
• 选择多点作为参考点。

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驱动点（原点）、跨点

• 驱动点：激励和响应在同一测点位置。
  
• 跨点：激励和响应不在同一测点位置。

驱动点FRF(幅值、相位、实部和虚部)

驱动点测量具有一些重要的特征：

• 共振峰和反共振峰交替出现，这一点在FRF的幅值曲线图中得到体现；
• 每经过一个共振峰时相位滞后180度，每经过一个反共振峰时相位超前180度；
• 频响函数虚部的所有峰值都位于频率轴的同一侧。

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FRF：幅值和相位、实部和虚部

3自由度的悬臂梁模型

驱动点FRF具有一些重要的特征：

• 共振点（峰）和反共振点（峰）交替出现；
• 每经过一个共振点（峰）相位滞后180度，每经过一个反共振点（峰）相位超前180度；
• 频响函数的虚部所有峰值位于频率轴的同一侧。

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相干

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留数

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稳定图：O、F、V、D、S

o——极点不稳定（新出一频率）。

f——极点的频率在公差范围内稳定。

d——极点的阻尼和频率在公差范围内稳定。

v——极点向量在公差范围内稳定。

s——极点的频率、阻尼、向量在公差范围内都稳定。

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SUM，MIF，MMIF，CMIF，稳定图

指示工具SUM函数、MMIF函数、CMIF函数和稳定图

表：时域多参考点模态提取

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极点：物理极点、数学极点

σk：阻尼因子

ωk：有阻尼固有频率

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重根、伪重根

伪重根：指一个频率分辨率内存在两个根。

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SDOF与MDOF、Local和Global

测得的FRF被分解成多个单自由度的系统，如下图所示。

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实模态、复模态

实模态的一些特征：

• 通过驻波描述实模态，而这些驻波的节点位置是固定的；
• 所有点同一时刻通过它们的最大和最小位置处；
• 所有点同一时刻通过零点位置；
• 模态振型为带符号的实数值；
• 所有点同结构上任何其他点，要么完全同相位，要么完全反相位；
• 无阻尼得到的模态振型与比例阻尼的模态振型相同，这些振型解耠质量、阻尼和刚度矩阵。

复模态的一些特征：

• 通过行波描述复模态，节点似乎在结构上移动；
• 所有点不在同一时刻通过它们的最大值位置处，一些点似乎落后其它点；
• 所有点不在同一时刻通过零点位置；
• 模态振型不能用实数描述，为复数；
• 不同自由度之间不存在特定的相位关系，没有完全同相位或者完全180度反相关系；
• 由无阻尼情况得到的模态振型将不解耦阻尼矩阵。

• 无阻尼：极点和留数为纯虚数，振型值为实数；
• 比例阻尼：极点是复数，留数为纯虚数，振型值为实数；
• 一般阻尼：极点、留数和振型值全为复数。

复模态的实频、虚频形状与实模态有很大差别。不再与峰值相对应，实频曲线的正负峰不再对应半功率点。因此不能用实频、虚频曲线确定模态参数及σ。

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MAC

响应的模态置信判据MAC表示模态的可信程度，其算式为：

如果复向量{Rjk}与{Rlk}之间存在线性相关，则MSF对应于二者的比例常数，而MAC的值则接近于1。如果二者是线性独立的，则MAC的值将会很小（接近于零），且MSF没有什么意义。在更一般的意义上，MAC的概念可施加于两个任意的复向量。即用于比较两个有任意标尺的模态振型向量，相似的模态振型具有高值的MAC。对于两相对应的模态而言，MAC的值应接近于100％，而相应的留数向量，及通过模态参预因子给定标尺的模态振型之间的MSF值应该是非常一致的。MAC的第二个应用是检验模态振型被质量矩阵加权时的正交性，即

其中，mk表示第k阶模态的模态质量。

甚至在质量矩阵不知道的情况下，上式也是可利用的，通常假定其为有大致相等元素的对角线矩阵。在这一前提下，计算两个不同模态之间的MAC值，也就等于近似地检验它们之间的正交性。

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模态参与

运动方程：

认识到模态转换是从特征值求解过程中得到，是用物理坐标{x}通过模态向量合集[U]与模态坐标{p}发生关系

而

进一步整理得到模态空间方程组

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MPC，MPD，Scatter

• MPC：模态相位共线性
• MPD：平均相位偏移
• Scatter：散射度