为什么说自然数集是有限集合？——动态集合论

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　　　　为什么说自然数集是有限集合？——动态集合论

　　　　　　　　　　亦　文

　　众所周知，集合论，乃是现代数学最重要的理论基础，是由德国大数学家康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）在19世纪70、80年代创立的。它对集合的定义是：一些确定的、不同的东西的总体、整体或全体。由于此定义下的集合中的元素个数是确定不变的，因而我称其为康式或静态集合论。可惜的是，这个看似十分平常简单的集合定义，却引发了一系列无法自圆其说的自相矛盾结论，如比较著名的罗素悖论等等。于是为解决这些悖论，又进一步发展出了zfc公理系统等。似乎这样一来，数学世界的大厦基础终于稳固了。但事情真能如愿以偿吗？

　　有点儿静态集合论常识，就知道它认定：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷集合。因此，自然数集N由于可与它的真子集奇数集J的元素之间一一对应：n ↹ j，因而由全部自然数n构成的自然数集合N自然是无限集合。同样的，奇数集J等一系列元素间有↹(我们用↹表示元素间可相互一一对应)关系的集合也是无限集合。

　　可惜的是，康托尔从这里开始就已经犯了自以为是想当然的原则性错误：一个集合是无限集合的本质，根本不是什么整体与部分间的元素↹关系，而是集合S的元素个数Sⁿ乃是无限大量，即Sⁿ=∞，从而比可代表有限元素个数的任何自然数n都要大！即集合S的元素个数Sⁿ：n＜Sⁿ=∞。需要特别说明的一点是，就象许多人如我的大学老师当初上数学分析课时回答我的提问时所言：∞乃是数学中没有定义却代表无限大量的记号，数学中的无穷大量是可以大于任意指定正数的变量，因而∞不是实数。

　　不过，通过考察∞在数学中的实际作用可知，∞其实就是数学世界中的无穷大常量或无限数代表。当然，为了避免对于无限数的认识肤浅的尴尬，否认∞是数学中相对于有限数而言的无限数，把脑袋钻进“记号”的沙堆中而顾头不顾腚以掩耳盗铃，这也是传统数学界一面使用∞代表无限大常数，一边采取不承认主义否认∞是一种常数而只是一种记号从而自欺欺人的一大笑谈罢了。实际上，所谓无限大常数∞，不过就是比任意有限正实数s都大的无限常数或无限数：∞＞s 而已。事情的真相就这么简单。

　　不过，只要我们坚持以元素个数Sⁿ的大小来区分集合S的有限和无限，就立刻可以发现，所谓有限集合，就是指集S的元素个数Sⁿ＜∞。反之，Sⁿ=∞，集S才是真正的无限集合。这样一来，对于一系列元素序列无上限的无穷尽集合，比如自然数集N，奇数集J等等，虽然我们不能确切知道它们的元素个数Nⁿ、Jⁿ等到底是多少，但却可以十分确切地肯定：它们所具有的共同特征，就是元素个数Sⁿ＜∞，而不是Sⁿ=∞，从而与康托儿的整体与部分↹为无限集合的结论完全相悖，皆为有限集合。同时这也证明：有限集合Y中也有可以部分↹全体特性的集合存在。因此，↹关系，只是证明了集合的元素序列无穷尽，没有上限或终点而已，就象1/n≠0，可无限趋近却永远不能达到0一样，但永远不能证明它们的元素个数Yⁿ=∞。不妨根据它们的特点，把它们叫做无穷尽或无上限有限集即可。因此，康式集合论包括后来诞生于其上的zfc公理系统，把元素无穷尽集合定义为无限集合，乃是犯了一个错把木桶当林甬、不辨雌雄，从而遗祸无穷的原则性错误，又派生出了一系列似是而非的谬论如基数理论等，不可避免地把他创立的康式集合论以及以其为基础建立的zfc公理系统拖入了无尽黑暗深渊，引出了一系列悖论。

　　了解康式集合论的人，很难不知道由其引出的罗素悖论。这个悖论是英国数学家罗素(Russell)根据康式集合定义的缺陷特意构造出来的。其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的元素全体之集合定义的概括原则，可将所有不是自身元素的集合x构成一个集合S={x:x∉x}。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的答案，却会令人陷入两难境地：

　　如果S属于S，根据S的定义，S就必不属于S={x:x∉x}；反之，

　　如果S不属于S(x∉x)，同样根据定义，S就应属于S。

即无论如何选择，结论都是矛盾的，根本无法自圆其说。

　　这个悖论虽然是罗素人为构造出来的，但却实打实地揭露出了康式集合概念定义的内在缺陷，证实康托尔的静态集合定义极不完善，必须革故鼎新。因为时间永恒运动流逝的特性，从而并非任何对象都存在全体。比如自然数列N，就有始无终，无穷无尽，除了知道n＜∞以外，谁也不知道N的元素全体到底是多少。就象一天天增加的时间S，每天为一元素x，若其有了总体和终点：S={x：x为每一天}，那就是宇宙的末日到了。那么按照康式集合定义，此类新元素源源不断产生从而没有确定不变的元素全体的对象，原本就根本不能构成康式集合，更别说构成以集合为元素的复合集合了。因此，要彻底避免和解决罗素悖论等这样的自相矛盾，唯一和有效的途径当然就是改变元素静态不变的康式静态集合的定义了，使其具有更大的包容性和适应性，从而彻底避免悖论的发生。

　　罗素悖论的发生，就在于其集合S的元素构成：S={x:x∉x}。S的诞生，实际上就是一个新元素不断产生的无终点序列：S，S1=元素S+集S，S2=元素S1+集S1，……，永远没有总体或全体。即S作为新生集合，产生于其任意元素x之后，所以根本不存在S∈S的可能性。因为统计元素x的时候，S还未诞生，当然无从谈起。这才能当x存在统计总体以后，构成了S。所以，S作为新元素，根本不在之前的考虑对象范围之内，根本就没有产生任何矛盾的可能性。要想让新元素S∈S，实际上就是让S作为新元素再加上老元素x共同构成了新集S1。S1与S的差别就在于多了一个新诞生的元素S，从而让S成为了S1的真子集。罗素悖论能够产生，就在于他忽略和混淆了S1的元素x和s间在时间上的母子先后关系，从而把不能同时产生的它们当做了同时并存的并列关系来处理才造成的恶果。

　　因此，罗素悖论的积极意义，就在于它揭示了元素之间存在时序先后，从而集合空间与现实世界一致，乃是时空四维空间。忽略时序导致的先后关系，而将之当做无时序的并列元素处理，那么产生矛盾和悖论就是必不可免的。也因此，原本只考虑静态并列关系从而元素必有确定个数和全体的康式集合定义，就必须废弃而重新定义，把具有时序的元素间存在先后动态变化的因素考虑进来，形成能够涵盖时空四维空间内元素的新的动态集合定义，就可解决一切问题了。再从时间没有终点的永恒运动特性，可知新元素的诞生永远源源不断，从而能够并列而有全体可言的元素实际上是少数，因而新的集合定义就必须要打破总体或全体的界限，不限定不要求元素的数量确定不变，允许新元素不断产生和加入。这样的集合，就和微信群一样，允许新群员加入老群员退出，成员可以随时间变化而是动态不定的，当然确定不变也不反对。就是说：所谓集合，就是指满足某种条件的对象的群体。如此一来，范围动态可变，外延更加广阔，涵盖了全部时空四维空间。而康式静态集合，其实不过是新型动态集合的真子集罢了。自然数、奇偶数等无全体可言的无穷尽对象也就都可以成集了。类似于罗素悖论等理论不自洽性自然也就没有了诞生和容身之地了。

　　也许有人会问，既然自然数集N是元素个数Nⁿ＜∞的有限集，那么真的存在Sⁿ=∞的无限集合吗？答案是肯定的。

　　有初等数学常识的人都知道，有长度的数轴直线是由无长度或长度为0的点组成的。而每一个点都代表着数轴上的一个实数。原点的代表就是0。比如对于任意有限长度的线段x-x0，当x→x0，x-x0→0，而x=x0时，线段质变成了点，长度为0。所以传统数学说点没有长度或长度为0也是有其规则依据的，并非信口开河。且与纯量变1/n≠0永远成立不同，线段到点是质变，且最终确是达到了终点：x=x0，x-x0=0，只剩下一个无长度的点。当然，这也活生生反向证实了确是无限多即∞个点，构成了线段。

　　那么，无长度的点怎么又能组成了有长度的线段呢？这和凭空就可以变出苹果鸽子等的魔术杂耍不是如出一辙吗？而数学是自然科学，不是变魔术，这样的结论难道不是无法自圆其说的自欺欺人吗？实际上，之所以会造成这种直观上的无中生有自相矛盾现象，其原因乃是源于传统数学对于点长度的一种错误认识。点长度其实并不为0而是无穷小量。换句话说，就象初等数学中早就知道的那样，任意长线段x都是由无限多的点d组成的，而这点d数量的无限多，用一个数量或记号来表示的话，它就只能是∞。因此，对于长度为x的线段，构成它的每个点的长度就是x/∞，叫做无穷小量。这无穷小量到底有多小呢？就是小到了对于线段长度的计量不会产生任何实质影响的程度从而完全可以忽略不计。比如对于以光年为单位计量的空间距离，一毫米的误差对于准确计量根本产生不了任何影响，自然就是无穷小量而完全可以忽略不计了。甚至千米也可以看作是无穷小量而忽略不计了从而x/∞≈0。而这就是点长度又为0而变成没长度的真相。因此，什么是无穷小量？定义：无限小量就是对于原量级的计量不会产生任何实际影响从而可以忽略不计的量，记作x/∞。比如点长度因其无穷小，就对于线段计量没有任何影响而被忽略不计作0处理了。由此也充分证明了一向以精确科学面目自据的传统数学，实际上乃是一门建立在近似处理无限小量x/∞≈0的基础上的近似科学，与现实世界中实际测量实践如出一辙。如此一来，无限小量x/∞也就具有了原本≠0和近似≈0的双重特性，成了数学世界中唯一的有无对立统一体，并靠着这个神奇特性而大显身手，化腐朽为神奇而广泛应用于微积分等牵涉到无限小的数学领域。说到这里，大家也就不难明白，所谓的极限理论，其实就是无限小量有无转化特性的自欺欺人代名词，实际上根本就不需要。比如：lim 1/n=0，其实就是无限小x/∞被忽略不计而作0处理的脱裤子放屁，掩人耳目，故弄玄虚，指鹿为马和多此一举。究其原因，就是因为只有形式逻辑非此即彼的单纯量变而没有辩证逻辑渐变中断的质变飞跃的传统数学中，1/n≠0永恒成立。所以必须用极限理论来掩人耳目，实现渐变中断的质变飞跃，以完成把≠0变成=0的有变无质变飞跃。而表面上则自欺欺人，似乎依然没有超出形式逻辑的推理范畴。这也许就是人类玩儿似是而非的自欺欺人小把戏的那点儿小聪明的活生生实证？

　　但也由此可知，构成任意长度线段集合X的点元素的个数Xⁿ=∞，从而符合无限集合的定义而构成一个无限集X。而时间轴，则更是构成动态无限集的实证。