无穷思想与无穷集合的发展历程

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我摘录了汪芳庭著作里的一个片段，我觉得这部分内容写的非常好，言简意赅，通俗易懂。我系统的集合论知识是汪芳庭的《数学基础》奠基的。我非常感谢她，也喜欢她的文风和论述思路。我学了很多，有所得！这篇学科发展史分享给喜欢集合论和无穷理论的朋友。

正文之后，我会给出一些评注，里面有对于人物的点评、相关思想和概念的解释，从而帮助读者更好地理解无穷思想的发展体系。以下是正文。

古希腊哲学家、科学家亚里士多德(Aristotle,公元前384~前322)把无限区分为潜无限（“此外永有”）与实无限（“此外全无”）,认为只存在潜无限而没有实无限。数学家们自此通常都回避无限，并因此形成了数学上的传统。数学上回避无限的这种状态，是与社会产生水平及实践规模相适应的。17世纪以前的人类数学并不用为无限集是否存在而操太多心。

古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580~约前500)的学派在用分数表示√2失败之后，数学家们把眼光转向了几何，我们看到，古希腊数学家从欧多克斯（Eudoxus,约公元前408~约前355)起，用几何的比例理论来研究无理数、实数。他们不可能去想建立无限集基础之上的实数理论。欧多克斯所用的穷竭法可被用来处理相当多与面积、体积有关的理论与计算问题而不用考虑无限集是否存在，欧几里得在证明了存在无限多个素数的命题之后，在《几何原本》中把命题陈述为“素数的个数比任意给定的素数都多，语言上明显地回避无限。

意大利物理学家伽利略(G.Gallet,1564~1642)曾对无限集进行过深人思考，但因困惑于与“整体大于部分”的常识相悖的事情出现而离开了无限集。

一个例外的情形是，古希腊数学家、物理学家阿基米德（Archimedes,约公元前287~前212)曾直接与无限集打交道，计算出球体积是外切圆柱体积的2/3，他把球体直接视为无限多个厚度为零的薄片之和，而不是把体积归为有限和的极限，从而最早跳出了潜无限的框框。

突破传统的禁忌让无限集进入数学，终究不可避免，到了17世纪后半叶，微积分无穷小分析诞生，从微积分诞生起，无穷小量便被大量地随意使用，这种使用违背了传统，从而受到众多质疑。

微积分的主要创始人之一，德国数学家、哲学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646~1716)曾说：“我是如此地赞同无限，以至于我不但不像通常所说的那样承认自然厌恶它，而且还认为自然无处不在频繁地利用它…….但谈起穷小量（及相关的无穷大量）的合法性问题，他在1687年的一封信中说“目前，我承认这可能尚未解决。”

在随后的一段时间内，大多数数学家一边把分析数学及其应用快速向前推进，一边又希望尽量维护传统，力求把自己局限于潜无限的框架内，为此他们难以摆脱依赖直观而求助于几何。(“几何学家的名称”，“直到19世纪末之前，它一直用来指所有数学家，甚至包括并不涉及几何的数学家)他们包括法国19世纪初叶为极限理论奠基的柯西(A.L.Cauchy,1789~1857),也包括德国数学家、物理学家高斯(C.F.Gauss,1777~1855)。

高斯在1831年给舒马克(Schumacher)的信中说：“我极力反对把无限当成一种完成的东西来使用，这在数学上是绝不能允许的，无限只不过是言语上的一个比喻罢了。但他在自己的研究工作中就遇到了与拒绝承认无限集而产生的有关困难，1799年他给出了代数基本定理的第一个证明，其中用了几何方法，为此他给证明添加了注记：“据我所知、没有人会怀疑这一点，但若有人要求解释我打算将来有机会便证明它，使人疑虑尽消。1815~1816年，他对该定理给出了另外两个新的证明，虽避开了几何，但证明中利用了中值定理（若函数值f(a)与f(b)异号，则连续函数了在区间（a,b)内必有零点）而未给出该定理的证明，只能依旧依靠对直觉的信任。

1817年，捷克数学家、哲学家波尔查诺（B.Bolzano,1781~1848)尝试证明中值定理，发现证明中必须用到实数的性质——确界存在原理（有上界的实数集必有最小上界），而这一原理需要有严格的实数概念支撑，填补空隙的困难在于缺少对无理数的规定，不少数学家（包括柯西）做过尝试，但因回避实无限而未成功。从19世纪中叶起，利用有理数的无限集（实无限！)来定义实数，吸引了魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔、法国的梅雷（H.C.R.Meray,1835~1911)、德国的海恩(H.E.Heine,1821~1881)等一批数学家，他们取得了成功。

到了此时，康托尔与戴德金等对实无限的研究欲罢不能，在一片反对声中，针对各种对无限集的非难，康托尔为维护实无限所作的辩护是：要定义无理数，必须以有理数的无限集为基础；一切正整数、圆周上的一切点等都是实无限的例证；承认潜无限，就意味着必然先要承认一个固定的实无限，以它作为潜无限这个变量取无限多个值的值域：不能把有限量的性质强加于实无限来反对实无限的存在，因为实无限具有全新的数量特征……

戴德金按康托尔提出的集是由“直观的或想象的”对象所组成的概念，甚至用如下方式论述无限集的存在：“我自己的思想域，即能成为我思考对象的所有事物的全体，这个集就是一个无限集”（他证明：该集可与自己的真子集建立— —对应.)

集论诞生不久，便受到广泛关注，集论的概念和方法迅即爆炸似地渗透到数学的各分支，从而深刻地改变了整个数学的面貌。

我们可以得出结论：无限集进入数学，是数学发展——归根到底，是人类社会实践的必然结果；无限集存在的合理性，是由数学与现实世界的关系来确定的。

无限集（包括作为实无限的自然数集）存在与否，不是一个纯逻辑问题。如今，在大家普遍接受的公理集论中，关于无限集的存在已专有一条公理——无限公理。正是用这条公理，数学将自己与逻辑区别开来。

——《算术超滤：自然数的紧化延伸》 汪芳庭 著

我的评注：

●欧多克斯(Eudoxus，有的也翻译为欧多克索斯)是非常伟大的数学家，在公元前三四百年那会儿，他的思想是如此超前、有力，可以算是人类纯粹智慧的典范。你或许没听过他的名字，但这不代表他是默默无闻的平庸之辈。他的大名足以与阿基米德、阿波罗尼乌斯、欧几里得并驾齐驱。如果你还记得实数具有所谓的阿基米德性质【任意给定两个正实数a、b，总存在自然数n，使得na＞b】，而阿基米德自己在手稿里说，这个结论要归功于欧多克斯。

●欧几里得的《几何原本》，其体系是基于亚里士多德的公理化思想。亚里士多德把他著名的三段论进行了人类历史上一次“公理化”——将其分为3“格”24“式”，并选择其中的1“格”2“式”作为“公理”，然后利用逻辑学的常用方法推演出其它“格”与“式”。欧几里得非常欣赏这种思维，于是他效法亚里士多德，将他的《几何原本》也以公理形式进行表述。几何原本这几个字是徐光启后来翻译的，而且内容也是原书的一半左右。欧几里得的那本原著其实按希腊语是“诸定理”的意思【单词“定理”的复数形式】。

●实无穷就是无穷集合，潜无穷就是无穷变化过程。它可以是一个收敛或者发散的数列，或者是趋近某个极限的函数。但是注意区分概念，数列或者函数本身不是潜无穷，它们的变化过程才是潜无穷。现在我们承认无穷集合似乎相当轻松，觉得自然数形成一个集合很正常，但是正文表述了，这在思维严谨与历史思维定势下的数学史上，是不亚于发现非欧几何合理性的、极具争议的思想。

●应该这么说，如果亚里士多德因为他广博的学识和成就被誉为“古代世界最伟大的智者”，那么仅在数学和物理方面考虑个人的智力与能力，且不强调对后世学科体系的奠基，阿基米德几乎是人类有史可考的最伟大的数学家。在他的时代，纯数学的概念刚在萌芽之中，数学学科还尚未从物理学中分离，“毕派”的“万物皆数”虽在垂死挣扎，但几何统治整个数学已是大势所趋，以现代的角度看这其实是一种思想束缚。只有阿基米德可以不受约于这种束缚，自由自在地思考且不追随任何派别，不固守任何体系，在数学工具还相当贫乏的公元前，他不但有跨越近2000年的积分思想，而且还有大胆认可实无穷的魄力，这都不是同时代和以后两千年的同行可以比拟的。数学之神的赞誉不是说他的数学成就有多么不可思议，而是相比于后辈同行，在那个数学“洪荒初开”的年代，他就可以以“如此超前而再无模仿者出现”的成就流传于世，人们欣赏、推崇他那罕见的天才。

●莱布尼茨原来的无穷小是一个类似“实无穷小”的无穷小实体，它不是某种变化过程，而是某种“确定”的对象。他的想法是好的，但是为什么人们后来放弃了他的想法？因为他的无穷小概念与实数体系的运算冲突，而且没有人能在我们的实数体系下解决这种冲突，于是岔路口出现了：柯西和魏尔斯特拉斯引导了抛弃无穷小的路线，他们定义了一种以潜无穷概念引申的无穷小，即名满数学世界的与定义，这是我们数学的主流定义；亚伯拉罕·鲁滨逊引导了另一个方向，它坚持莱布尼茨的观点，但是改造了我们的实数系，于是超实数系诞生了，它实现了莱布尼茨的梦想，但是却付出了代价——超实数系虽然与标准实数系等价，但是它在直观上一点也不自然，而且具体研究需要很多的数理逻辑内容，这使得传统的数学家们对它敬而远之。

●因为历史原因，几何这个词当年就是数学，所以几何学家就是数学家，像拉普拉斯、拉格朗日在当时都被称为伟大的几何学家，而其实以现代的数学体系看，他们都是分析方面的大家。他们研究的内容和几何一点都不沾边，无论是欧氏几何还是微分几何。

●庞加莱、克罗内克等太多大、中、小数学家反对康托尔的集合论和实无穷，那时只有戴德金等少数几个数学家和他通信，应该这么说，一方面是集合论本身的力量征服了数学家，让他们看到了集合论的威力从而认可了它的地位；另一方面，希尔伯特在这里起了很重要的作用，这位最后的无上全才不像高斯——只是暗自利用自己的声望帮助落难的朋友——相反他是公开力挺康托尔的。1900年那场后来被定义为影响整个20世纪大半世纪的数学家大会，他以23个问题中“第一要紧的地位”【第一问题】凸显他对集合论领域的支持和关注。

●一般来说，只要认为“无穷集和自己的某个真子集等势”有问题的人，都是犯了康托尔说的那个思维定势——把有限数量的性质强加到无限的数量特征上。

●无限集存在的合理性不是因为现实世界存在某个无限集，或者有某个确定的无穷大，而是因为数学理论、数学体系的发展，它是数学自身自洽性的需要，而数学的发展都是与社会实践、生产发展相适应的，因此从这个角度说，数学也是跟随实际、是社会发展的产物。一句话，数学在跟随社会一起发展的同时也在不断满足自身需求，而这些需求不都是直接来自现实世界，实无穷是最好的例子。

●数学不全是逻辑，逻辑也不全是数学，这是现代数学与逻辑的公认结论之一。无穷公理，即，存在一个归纳集【S是归纳集，若x∈S，则x+1∈S】，这个公理是不能从现有的逻辑体系推出的，而数学需要这个公理，因为它是定义自然数的关键，没有自然数就没有我们熟悉的整个数学。