[遇见数学翻译小组] 作者: 刘雄威, 一个数学爱好者，希望为数学科普工作做更多贡献，欢迎纠错或讨论.

大多数人都熟悉笛卡尔坐标系，它将平面上的每个点分配给两个坐标。要查找p(x0,y0)需从起点(0,0)开始，沿横轴走x0个单位距离和沿纵轴走y0个单位距离(见下左图)。

笛卡尔坐标系 vs. 极坐标系

但还有另一种坐标系也非常好，它用于飞机的定位。对于每个点p分配一个数对(r,θ)，其中r是原点(0,0)沿直线到p的距离，θ是从 x轴的正半轴逆时针旋转至原点与p点所连成的径向线所夹的角度。这些新坐标称为极坐标，之所以这么命名，是因为我们将轴的交叉点视为所有事物从中辐射出来的极点（见上右图）。

如何在极坐标系中表示出简单的图形?从上面的交互性可以看出，以(0,0)为端点的射线图形由θ值唯一确定，例如，y轴的正半轴由以下方程表示

θ=/2=1.5707…

以及夹于x轴的正半轴和y轴的正半轴中间位置的射线由以下方程表示

θ=/4=0.7853…

一般来说，方程

描述以(0,0)为端点，与x正轴的夹角为θ0的射线。

那么如何用极坐标系来表示圆形呢?我们知道以(0,0)为圆心、r0为半径的圆，其所有点都落在距离(0,0)有r0个单位的位置上。因此，我们可以用以下方程来描述极坐标系中的圆

此表达式比笛卡尔坐标系中的圆的方程简单得多，即

然而描述不穿过点(0,0)的直线和不以(0,0)为圆心的圆的极坐标方程比其笛卡尔坐标方程复杂但也有一些图形，其表达式使用极坐标方程比使用笛卡尔坐标方程要简单得多。以下是我们最喜欢的三个例子。

阿基米德螺旋

让我们来画出这个极坐标方程对应的图像

r=θ

换句话说，我们要寻找的是满足极坐标为(θ,θ)的所有点，以观察它所形成的图像是什么样的。

下图表示当θ值从0变化到2时对应的图像。在图像上每个点的极坐标皆为(θ,θ)，可以看出随着θ值的”增加”，点的位置也逐渐远离(0,0)。

于是我们有了一个螺旋的雏形!

但为什么要停在θ=2呢?我们可以继续转动径向线使图像超过一个整圈(θ>2)、转过一圈半(θ=3)、两圈(θ=4)，以此不断增加一圈又一圈。然后，我们便可看到随着图像从θ=2转动到θ=4，点p(θ,θ)到原点(0,0)的距离会逐渐增加，从2到4，让θ从4增加到6，则可以看到图像上的点距离原点越来越远。下图表示了θ从0到20的图像。

使θ一直增加到无穷大，会得到一个以(0,0)为中心的无数圈的螺旋：

这个美妙的形状被称为以伟大的希腊数学家的名字命名，他在公元前三世纪发现了它。从图片中可以看出，螺旋的循环间隔均匀：如果以(0,0)为端点画一条射线（即径向线），则可以看到螺旋上的任意两个连续交点之间的距离始终为2。

还有其他类型的阿基米德螺旋，其特征是螺旋与径向线的连续交点之间的间隔始终相等。它们可以归纳为以下方程

其中a为正实数。使a值不断变化，您便可以看出，a值决定了螺旋的紧密程度，因此，a值也决定了螺旋与径向线的连续交点之间的间隔。下图分别为a=2与a=0.5的对应图像。

如果您更喜欢物理解释，那么当您追踪从中心向外出发且以恒定角速度移动的点的路径时，您也会得到阿基米德螺旋。

对数螺旋

现在，让我们来看看下述方程的图像

其中e是自然常数，e=2.71828…

当θ=0时，我们得到

因此，我们的形状包含具有极坐标的点(1,0) (其笛卡尔坐标恰好也是(1,0))。下图表示θ值从0到2对应的图像。每个点p对应的坐标为(e^(θ/10),θ)。这里我们再次看到了螺旋的雏形，但这次有所不同。

同样地，我们使θ从2增加至4、6等不断递增。然而，这一次螺旋的循环没有均匀地间隔。

这是的一个例子。它之所以称为对数螺旋，是因为其表达式

也可以表示为

​其中ln是以自然常数e为底数的自然对数。

(还有一种更一般的对数螺旋形式，其表达式为r=ae^(bθ)其中a和b都是正实数。)

但这里还有另一种玩法：我们可以令角度值θ变成负数！要查找第二极坐标（即θ坐标）为负值的点，您需要从x正轴开始朝另一个方向度量角度：即顺时针方向。例如，具有极坐标(r,- /2)的点位于y轴的负半轴。

这对于对数螺旋意味着什么?当θ值从0到-∞变化时，图像上的螺旋线将以顺时针旋转一、二、三乃至无数圈。作螺旋线，其点p对应的坐标为

但现在随着θ不断减小趋向-∞，螺旋线也不断向内部移动，趋近于(0,0)，这是因为

所以如果随着x减小且趋于-∞，那么e-x会不断增大且趋于+∞，所以1/e-x是正值，且趋近于0。

下图显示了当θ不断减小至-10时，点 p 的分布情况。

让θ值从-∞变化+∞，就会产生一个双向无限的螺旋，它既没有起点，也没有终点。

完全对数螺旋

但请注意。正如您从图像中所见，这张图片看起来和上面的图片的差不多，即使这里的 x 轴和 y 轴覆盖的范围要小得多。这表明了对数螺旋的一个非常有意思的特点。如果使对数螺旋的图片放大或缩小，那么你看到的图片将会看起来与放缩前完全一样，该特性称为自相似性。这可能是对数螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蜗牛壳的漩涡和许多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它们。

17世纪的数学家被这个美丽的形状迷住了，他称之为”spiral mirabilis”(奇迹般的螺旋)，并要求把它刻在他的墓碑上，并附以颂词”纵然变化，依然故我”。不幸的是，雕刻师弄错了，他最终在他的坟墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是对数螺旋。

极地玫瑰

我们要介绍的最后一个图形，或者更确切地说，最后一组图形，让我们先从这个方程开始r=|sinθ|, ( || 符号代表绝对值，因此r恒为正值)

要了解这个方程，让我们先复习一下正弦函数的图像，下图是横轴对应θ值而纵轴对应sinθ值时的图像变化情况：

加上绝对值意味着，图像中横轴以下的部分（该部分sinθ为负值）应该翻折到横轴以上的位置：

您可以看到，当θ从0升到时，|sinθ|从0上升到最大值1(在θ=/2处)，然后下降到0(在θ=处)。

现在，让我们回到极坐标。当θ从0变化到时，原点(0,0)到点p

p=(|sinθ|,θ)

的距离从0(在θ=0处)变化到 1 (在θ=/2处)，然后回到0(在θ=处)，这将在极坐标系的上半平面画出一个小圆圈。然后，当θ从变化到2时，|sinθ|值也跟上述变化相同，这将在极坐标系的下半平面画出一个小圆圈。

现在，让游戏变得复杂些，并观察这个方程

r=|sin2θ|

新的因数2意味着上述图中的出现的两个圆圈的范围从θ=0到θ=2变成现在只出现在θ=0到θ=。即两个圆圈都出现在上半平面上，因此变得有点拥挤。当θ从移动到2时，2θ的值也从2变到4，函数的值是周期性的(θ+2具有与θ相同的函数值)，现在我们一对圆圈的镜像也出现在下半平面中：

我们有一朵有四瓣的花!

那么这个方程会发生什么 r=|sinkθ|, k是任意正整数?你猜对了！奖励一朵2k瓣的花，下面我们向您展示k=3和k=10的情形。极坐标所能做的事真是令人惊奇！