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众所周知,我国上个世纪的数学教材中,0不是自然数。新世纪后,教材改版,把0列为自然数。这是为何?
我来解释一下。因为这是康托尔集合论的需要。0和其他自然数有一个共同特性:仅仅做加法和乘法运算时会封闭。
(一)正整数N+
我们知道,最早人类只知道1,2,3,4,……这些数字。而这些数字,有一个共同的特点。那就是仅仅是做“+”和“×”运算时,会形成一个封闭的集合,
例如:1+2=3
5×6=30
这些数字不管你怎么加,怎么乘,算出的结果,仍然是和自己一样性质的数字。也就是说在这个范围内封闭。我们把所有满足这样特性(仅仅做加法和乘法运算时会封闭)的数字,就是正整数,记做集合N+。 最早期的人们,认为正整数就是数字的全部。仅仅依靠1,2,3……这些数字,就已经铺满了数轴。
(二) 整数Z
后来随着生活水平的不断提高,减法使用的次数逐渐提高。人们发现自然数在减法上不封闭。
例如:1-1=?
3-5=?
遇到这些问题,则直接颠覆了当时人民的世界观。因为结果在正整数中找不到,于是发明了负数和0,来弥补这个问题。
虽然负数的广泛接受,经历了颇为坎坷的过程。例如法国数学家帕斯卡就认为,从3个苹果中,减去4个苹果,这是脑子有毛病吧,负数纯粹就是胡说(关于负数问题以后有空仔细分析)。
19世纪后,负数和0的概念被广泛接受,在“+””×””-“三个法则下,这些数封闭。这类数字叫整数,用”Z”表示。
(三)有理数Q
然鹅,整数并没有铺满数轴,平均分配物体问题,往往出现除不尽的时候,在“÷”运算中,往往会算出整数之外的新的数字。
例如:2÷3
3÷8
于是出现了分数。加上分数之后,“+””×””-““÷”四大运算都会封闭的范围,整数加上分数,我们叫做有理数,记做Q。
(四)实数R
但是,后来人们发现一些数字通过开方运算时,得出的结果,仍然在有理数中找不到,例如:边长1的正方形对角线多长?
例如 a×a=2,a=?这样的数永远不能写成两个整数的商。
于是发明了无理数。有理数和无理数,我们统称为实数,记做R
(五)复数C
再后来,人们计算一元三次方程时,明明有正根,代入求根公式,判别式确是负数。根本无法开平方,而且负数开方这样的数字在有理数中找不到。
例如:b×b=-1,b=?
于是发明了虚数。实数和虚数,我们统称为复数,记做C
正是有了复数的概念,我们便可以利用““+””×””-““÷””“开方”乘法“”各类运算,在数学的美丽世界中纵横驰骋,不用担心超纲。
综上所述:正是因为0和其他自然数一样,仅仅在:仅仅做加法和乘法运算时会封闭。例如0+6=6 ,0×3=0,做加法乘法时,得出的结果仍然没有跳出自己的范围。因此,在集合的封闭性上,0和其他自然数本质上是一样的。
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