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前言

原来裴蜀是法国数学家QwQ

一、裴蜀定理

对于 $x,y$ 的二元一次不定方程 $ax+by=c$ ，其有解的充要条件为 $\gcd (a,b)\mid c$

1.充分性证明

充分性：若 $\gcd (a,b)\mid c$ ，则 $ax+by=c$ 有解

设 $k$ 为 $a,b$ 线性组合的最小非负解

令 $q=\lfloor \frac{a}{k}\rfloor$ ，则有 $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k=a-qk=a-q(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy)$

显然 $r$ 也为 $a,b$ 线性组合的解，且 $0\le r\le k$

$\because k$ 为最小非负解

$\therefore r=0$

$\therefore k\mid a$

同理 $k\mid b$

令 $d=\gcd (a,b)$ ，则 $s\mid d$ 且 $d\ge s$

$\because d\mid a,d\mid b$ 且 $s$ 为 $a,b$ 线性组合的解

$\therefore d\mid s$

$\because s>0$

$\therefore d=s$

则 $ax+by=c$ 的最小非负解为 $\gcd (a,b)$

显然 $\forall c=k\gcd (a,b),k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 是原方程的解

2.必要性证明

必要性：若 $ax+by=c$ 有解，则 $\gcd (a,b)\mid c$
证明：
令 $d=\gcd (a,b)$ ，则 $d\mid a,d\mid b$

$\because ax+by=c$ 有解

$\therefore d\mid ax,d\mid by$

$\therefore d\mid ax+by=c$

3.推广

对于不定方程 $x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n=k,\forall y_i\in \mathbb{Z}$ ，其有解的充要条件为 gcd ⁡ { x i } ∣ k \gcd\{x_i\}\mid k gcd{
xi​}∣k

证明略

二、裴蜀定理模板题

题目链接：P4549 【模板】裴蜀定理

即推广结论裸题

要注意负数要转成正数再算 $\gcd$

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
int n,ans,a[25];
int gcd(R int a,R int b)
{ 
   return b==0?a:gcd(b,a%b);}
signed main()
{ 
   
	scanf("%lld",&n);
	for(R int i=1; i<=n; i++)
	{ 
   
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[i]=a[i]>0?a[i]:-a[i];
		ans=gcd((i==1?a[1]:ans),a[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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总结

本文简单介绍了裴蜀定理

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