恩尼格玛，从戚继光到图灵

作者：蔡天新

在文明冲突史上，从没有如此众多的人如此感激如此少数的人。

——（英国）温斯顿·丘吉尔

1、伯罗奔尼撒战争

伯罗奔尼撒战争是指以雅典为首的提洛同盟与以斯巴达为首的伯罗奔尼撒联盟之间的一场战争，起因于雅典的霸权野心和斯巴达的坚毅、倔强。这场战争从公元前431年一直持续到前404年，周边的绝大多数城邦都不得不加入其中一方的阵营。起初，双方互有胜负，一度陷入僵局。

有一回，雅典方面曾在一场海战中取得重大胜利，本有机会结束战争，但由于他们提出的要求过于苛刻，错失了达成和平协定的时机。战火继续燃烧，后来一度蔓延到了遥远的西西里岛。终于，在波斯帝国的支持下，斯巴达人反戈一击，重创了强大的雅典海军。

德加画作《年轻的斯巴达克人的操练》。

公元前405年，伯罗奔尼撒战争已接近尾声。斯巴达军队逐渐取得了优势，准备对雅典发动最后一击。这时候，原先站在斯巴达一边的波斯人突然改变态度，停止了对斯巴达的援助，意图使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔利。

在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯军队的具体行动计划，以便采取新的战略措施。其时波斯帝国的阿契美尼德王朝已处于衰落期，刚巧此时，斯巴达军队捕获了一名从波斯军营返回雅典送情报的信使。斯巴达士兵仔细搜查了这名信使，可是除了他身上那条布满杂乱无章的希腊字母的腰带以外，别无所获。

情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队的统帅莱桑德把注意力集中到那条腰带上，情报应该就在那堆无序的字母当中。他反复摆弄那条腰带，琢磨着这些天书似的文字，把腰带上的字母用各种方法重新排列组合，可是怎么也解不出来。最后，莱桑德几乎失去了信心，却突然出现了奇迹。

原来，莱桑德无意中把那条腰带以螺旋形缠绕在手中的剑鞘上，竟然组成了一段完整的文字。这正是雅典间谍送回的一份情报，它告诉雅典人，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，从背后袭击斯巴达人。

根据这份情报，斯巴达军队适时改变了作战计划，他们以迅雷不及掩耳之势攻击毫无防备的波斯军队，一举将其击溃，从而解除了后顾之忧。随后，斯巴达人挥师征伐雅典，终于取得了这场耗时27年的战争的胜利。

雅典间谍身上的那条腰带，可能是世界上最早的密码情报。具体运作方法是，通信双方事先约定密码解读规则，然后其中一方将腰带缠绕在约定长度和粗细的木棍上书写。另一方接到信以后，必须把腰带缠绕在同样长度和粗细的木棍上，才能看清字母有效排列的内容。

这种密码通信方式后来在希腊广为流传，据说近代的加密电报便是受它启发发明的。伯罗奔尼撒战争不仅对希腊文明而且对历史学本身也有重要意义，修昔底德在《伯罗奔尼撒战争史》中予以详细的记载，他对战争原因和背景的分析在史学界起到先驱和表率作用。可惜当他写到公元前411年冬天时猝然去世，后续半个世纪的历史由苏格拉底的弟子色诺芬完成。

2、汉语拼音的前身

密码是一种用来混淆视听的技术，它将正常的可以识别的信息转变成无法识别的信息。当然，对一小部分人来说，这种无法识别的信息是可以经过加工恢复原样的。严格来说，登录网站、电子邮箱、银行取款或开启保险箱时输入的“密码”还只是“口令”，而不是真正的密码，因为它不是原本意义上的“加密代码”。

中国是世界上最早使用密码的国家之一。早在东汉末年，我们的祖先就发明了反切注音，即用两个字为另一个字注音，取上字的声母和下字的韵母，“切”出另外一个字的读音，这对于使用象形文字的民族来说无疑是一种创举，而“反切码”就是在这种反切音的基础上出现的。

据说“反切码”的发明人是明代著名的抗倭将领、军事家戚继光（1528-1588），他同时也是一位诗人和书法家。戚继光专门编了两首诗歌，作为“密码本”：一首是“柳边求气低，波他争日时。莺蒙语出喜，打掌与君知”；另一首是“春花香，秋山开，嘉宾欢歌须金杯，孤灯光辉烧银缸。之东郊，过西桥，鸡声催初天，奇梅歪遮沟。”

这两首诗歌包含了反切码的全部秘密，即取前一首诗前15个字的声母，依次分别编号1至15；取后一首诗前36字的韵母，依次分别编号1至36。再将字音的8种声调，也按顺序编号为1至8，便形成了完整的“反切码”系统。

具体方法如下：若收到的情报上密码有一串是5-25-2，对照声母歌编号5是“低”，韵母歌编号25是“西”，两字的声母和韵母合到一起就是di。而声调是2，便可切出“敌”字。为此戚继光专门编写了一本《八音字义便览》，作为训练情报人员、通信兵的教材。

历史学家范文澜认为，用反切音来注字音，可能是当时一些儒生受梵文拼音字理的启示，他同时认为，这也是音韵学的开始。在此之前，用的是直音，即用同音字来注音，那样对许多字并不容易。值得一提的是，音韵学是训诂学的得力工具，后者是研究古代文字意义的学问，因为训释词义往往需要通过语音来理解和说明。

语言学家周有光（50年代与吴玉章在我国制订实施汉语拼音方案时起了重要作用）称反切音是一种“心中切削焊接法”。可是，反切也有局限性。例如，反切上下字可用的字过多，使用的人难掌握；字又常常含有多余成分，在拼合时有一定障碍；有些窄韵需借用其他韵的字作反切下字，造成切音不准确。

到了明朝末年，一批有学识的西方传教士来中国传教，为了学习汉字，他们开始用拉丁字母来拼写汉语。1605年，意大利传教士利玛窦在北京出版了《西字奇迹》，其中有4篇汉字文章加了拉丁字母的注音。这是最早用拉丁字母给汉字注音的出版物，据说唯有梵蒂冈图书馆尚有此书藏本。

1626年，法国传教士金尼阁在杭州出版了《西儒耳目资》，这是第一本用拉丁字母给汉字注音的字汇表。注音所用方案是在利玛窦方案的基础上修改的，可以说这是中国最早的汉语拼音方案。金尼阁的故乡如今归法国，但他生前自认是比利时人，当时是在西班牙统治下，属于著名的历史地理区佛兰德斯。

欧洲传教士之墓，金尼阁也在其中。图片来源：作者摄于杭州

三年后，金尼阁在杭州逝世，葬于西湖区留下街道东岳村大方井。值得一提的是，与金尼阁同龄的佛兰德斯画家鲁本斯（他的出生地位于今日德国的北莱茵-威斯特法伦州）为他画过一幅身着道袍的肖像，现藏于纽约大都会艺术博物馆。那应是金尼阁回欧洲探亲时所作，鲁本斯有一句话似乎是说给这位老乡听的：我把世界的每一处地方都看成是自己的故乡。

鲁本斯画作《穿道袍的金尼阁》。

3、运筹学和恩尼格玛

在现代战争中，密码学的作用更加明显。1940年5月，德军以闪电战击溃英法联军，英国军队从英吉利海峡的法国港口敦刻尔克狼狈逃离，史称“敦刻尔克大撤退”。当时，英国陆军已经战败，大量重型装备丢弃，空军无论从数量、质量和飞行技术方面均大大落后于德军。

德国空军司令格林甚至认为，只要派飞机越过海峡狂轰滥炸，就能够使英国屈服。于是，从那年7月至10月，伦敦等城市几乎天天拉响空袭警报，美国电影《魂断蓝桥》讲述的就是那段经历。没料到的是，空战结果，德军损失了1733架飞机，而英军只损失915架，希特勒不得不放弃征服英国的计划。

究竟是什么原因，决定了那场战争的胜负呢？一般认为，胜利的一方是因为士兵的勇敢无畏、统帅的英明果断、武器的精良、国力的雄厚或人心所向，等等。但是，“一战”时期的飞行员、“二战”时期的情报局官员、曾获大英帝国勋章和美国功勋勋章的英国人温特博瑟姆却把“二战”盟军的胜利归因于“科学的拯救”。

首先，应用数学的重要分支——运筹学便是诞生于“二战”战场上。那时英国人刚刚发明雷达，在性能指标上逊色于德国人。英军成立了以数学家为骨干的运筹学小组，研究了雷达的最佳配置和高射炮的射击范围，结果从每200发击落一架敌机改进到每20发击落一架。之后，美国、加拿大相继成立了运筹学小组，到“二战”结束时共有700多名研究人员。

其次，也是更重要的，便是密码战线的斗争。1918年，德国电气工程师谢尔比乌斯为自己发明的谜语机（Enigma，音译为恩尼格码）申请了专利。这是世界上第一台电气装置的密码机，其形状如同一台打印机，拥有26个字母的键盘，但却没有标点符号。

德国人的谜语机。

此外，还有由同样26个字母组成的字母板和正反转轮。每个字母板下面都有插口，可以用一根电线把任何两个插口相连，比如A插口和Z插口，字母A经过转轮作用便输出字母Z。对方收到后，又通过反转轮变回字母A。

一般来说，每次要连接6对字母的插口。不难计算，从26个字母中选取6对的方法有

种。

再考虑转轮的排列和位置的不同选择，那更是天文数字，任何人工和统计方法无能为力。在希特勒亲自了解并观看了谜语机的演示之后，深信它是不可激活成功教程的，因此下令在军队全面安装，但他却低估了数学的威力和数学家的智慧。

4、雷耶夫斯基与图灵

在“二战”以前，破译密码似乎不需要数学知识，许多国家都请语言分析专家、纵横字谜高手或国际象棋冠军来帮忙，很少会想到数学家。例外首先来自波兰，这个国家因为左右邻国德俄的存在和威胁，警惕性一直比较高。而且，“一战”结束不久，著名数学家谢尔宾斯基（以他名字命名的三角形是分形理论中的重要例子）曾帮助波兰密码局破译过苏俄的密码。

1928年，波军发现德军开始使用一种全新的密码，他们根本无法破译，于是开始焦虑起来。翌年年初，波兰西部波兹南大学数学系的一群大学生和研究生被要求宣誓保密以后，开始学习密码学课程。波兹南邻接德国，因此当地人都会讲德语。

学生们每周两晚学习密码学，几个星期以后有的便能激活成功教程各种旧式密码，激活成功教程能力差的则被逐步淘汰。最后，只剩下三位最优秀的，那便是雷耶夫斯基、齐加尔斯基和鲁日茨基，正是他们三位激活成功教程了德军的谜语机，其中雷耶夫斯基居功至伟。

雷耶夫斯基，波兰数学家和密码学家，曾领导波兰密码学家率先破译德国的Enigma密码。

雷耶夫斯基原先在波兹南大学念硕士，毕业以后去德国哥廷根大学进修了一年，回到母校做起了老师。1932年，他和两位同道加入了保密局，第二年初便取得了突破。雷耶夫斯基的解密法利用了19世纪法国数学家伽罗华发明的置换群原理和特征值理论，同时他还证明了一条后来被称为“可以打赢世界大战”的置换群定理。

可是，波兰人虽然破译了早期的“谜语机”，但他们尚不能应对后来德国人采取的一系列改进措施，更由于国力的差距，最终无法逃脱亡国的命运。幸好，他们及时把关键技术和设备传交给了英法两国。然而，波兰沦陷不到一年，法国就被德国的闪电战击败。于是，继续激活成功教程“谜语机”以争取反法西斯战争胜利的重任，就落到了隔海相望的英国人肩上。

比雷耶夫斯基年轻7岁的图灵出生在伦敦，双亲曾在英国的殖民地——印度马德拉斯工作。1935年，他以优异成绩毕业于剑桥大学国王学院，留校成为一名教师，翌年提出了“通用计算机”的概念，后来被称作“图灵机”而沿用至今。同年他在美国普林斯顿大学取得数学博士学位，谢绝了做匈牙利人冯·诺伊曼助手的邀请，回到祖国，进入了伦敦的“密码学校”。

图灵，英国数学家、逻辑学家，被称为计算机科学之父，人工智能之父。

雷耶夫斯基发现“谜语机”的一个缺陷，就是字母A加密成Q之后，Q必然被加密成A，因此证明了置换群定理。图灵则发现了“谜语机”的另一个缺陷，就是字母A无法加密成A本身，他利用德国人行文的刻板和密码机操作的漏洞（两段分开发送的文字之间的连接语的重复），大大简化了破译工作。

因为这个发现，1940年3月，英军制造出了第一台破译“谜语机”的电气机械装置“炸弹机”。第二年，这种机器增加到14台；1945年，更是达到了211台，操作人员近2000名。据后来解密的文件，“炸弹机”破译了德军90%以上的“谜语机”情报，为赢得战争胜利作出了极其重要的贡献。

举一个例子，驻扎北非的隆美尔是希特勒手下最杰出的将领，足智多谋、英勇善战，被誉为“沙漠之狐”。然而，“炸弹机”问世之后，盟军每每破译他与总部的电报往来，总是能摧毁他的补给和运输部队。知道隆美尔弹尽油绝的处境后，英军统帅蒙哥马利发动“阿拉曼战役”，一举将其击败。

随后，在大西洋海战和诺曼底登陆，甚至美日间的中途岛海战（摧毁日军四艘航母）中，“炸弹机”也发挥了重要作用。1943年4月17日，美国海军截获日军密电，日本联合舰队司令、海军上将山本五十六将前往前线视察，此人曾精心策划珍珠港偷袭。翌日上午，美军飞机在所罗门群岛拦截并击落了有六架战机护航的山本座机。这些成果，为世界反法西斯战争的最后胜利，奠定了坚实的基础。

在空战取得胜利之后，英国首相丘吉尔曾在下议院发表演讲，赞叹“在文明冲突史上，从没有如此众多的人如此感激如此少数的人。”此话既是对空军飞行员的表扬，也是对破译密码的情报人员的褒奖。当然，数学方法除了可以用来破译以外，还可以设置密码。1977年，麻省理工学院的三位年轻人利用欧拉定理和秦九韶的大衍求一术，提出了著名的RSA公开密钥体系。从那以后，数学便真的与密码学难解难分了。

作者简介：蔡天新，浙江大学数学学院教授，诗人、作家，近作有随笔集《数学传奇》，诗集《美好的午餐》，游记《里约的诱惑》，随笔集《轻轻掐了她几下》，摄影集《从看见到发现》。本文取自他即将出版的新书《给孩子的数学故事》（北岛主编，中信出版社）。

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