马尔可夫模型到底是什么

马尔可夫模型到底是什么过去已是过去未来还看当下超模君刚准备卧在沙发上休息。这时沉迷学习的9岁表妹拿着一本《信息论》跑来问:表哥,这个马尔可夫模型是什么呀。

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马尔可夫模型到底是什么

过去已是过去

未来还看当下

超模君刚准备卧在沙发上休息,这时沉迷学习的9岁表妹拿着一本《信息论》跑来问:

表哥,这个马尔可夫模型是什么呀?

马尔可夫模型到底是什么

超模君:嗯…这个嘛,不难不难,等下解释给你听。

趁着表妹在专心玩手机,超模君赶紧偷偷百度了一下“马尔可夫模型”。

说起马尔可夫模型,那当然要先了解下马尔可夫(Andey Makov):

马尔可夫模型到底是什么

安德烈·马尔科夫(1856-1922)

马尔可夫生于俄国梁赞,是彼得堡数学学派的代表人物及中坚力量,以数论和概率论方面的工作著称。

他创立并且发展了著名的马尔可夫模型马尔可夫链理论,为随机过程的发展奠定了基础,他还研究并发展了数论与概率论等等。

然而,他曾经是一个“叛逆”的热血青年,讨厌陈规陋俗。

除了数学课之外,其它课程都不感兴趣。所以,少不了挨老师的骂,妥妥的老师们眼中的“坏学生”。

马尔可夫模型到底是什么

作为一名“叛逆”青年,马尔可夫在思想上体现出了对社会现状的不满及批判精神。这源自于他所偷偷阅读皮萨列夫、车尔尼雪夫斯基、普希金等人的文学评论及政治文章。这也使得他对社会问题,人文科学都极为关注。

1913年,马尔可夫利用概率思想分析了普希金的长诗《叶甫盖尼•奥涅金》,统计了长诗中元音字母和辅音字母交替变化的规律。他将所得到的结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较,证实了俄语中字母的随机序列符合他所建立的概率模型,阐明了马尔可夫链的性质。

有趣的是,一般数学家研究的成果的冠名是由大众及其它数学家们所认定的,而马尔可夫则自己命名了“马尔可夫链”。

咳咳咳,坐好小板凳,考试重点来了。

考试月临近,小天要准备考试了。假设她考试的时候,是按照一定的顺序做题,每道题有做对和做错两种结果。

设她每一道题答对的概率只与前一道题的结果有关。若当前小天答对了一道题,则下一题她还答对的概率是70%;若当前小天答错了一道题,那么下一题她还答错的概率是60%。

每一道题的结果就是一个状态,由于每一道题答对的概率只与前一道题的结果有关,则小天答题的过程满足马尔可夫性质,是一个马尔可夫过程。

可以得出其中的转移矩阵是:

马尔可夫模型到底是什么

然而故事并没有这么简单。

小天考试的时候有三种状态:超常发挥状态、正常发挥状态、头脑短路状态。

每个状态小天答对题目的概率不同,比如说:

1、超常状态,做对题目的概率是90%,做错的概率是10%;

2、正常状态,做对题目的概率是70%,做错的概率是30%;

3、头脑短路状态,做对题目的概率是30%,做错的概率是70%。

在观察小天作答每一道题的正误情况,才发现小天是个面瘫,无法从她的外部神情了解到她处于哪一种状态。

也就是说,小天处于什么状态对我们来说是隐藏的不可见的。我们只能通过一些特征来估计小天处于什么状态。

比如说,小天在考试中连着做对了10道题,那么小天处于超常状态的可能性最大。

可以发现,小天所处的状态就是隐含状态,题目的正误结果就是可见状态,它们之间的概率称为输出概率

哟,这不就是个简易的隐马尔可夫模型吗?

然而,一般情况下,小天不会一直处于某一状态中,她做题的状态会随着时间而变化,即隐含状态之间也存在转移概率。将这个例子再改进一下。

设小天做第一题时为正常状态。每做一道题,小天的状态就有一定的概率发生变化,且新的状态只与前一状态有关,也就是小天的答题过程具有马尔可夫性质,具体设定如下:

1、如果前一次的状态是正常状态,那么下一状态为超常状态、正常状态、头脑短路状态的概率分别是30%、50%、20%;

2、如果前一次的状态是超常状态,那么下一状态为超常状态、正常状态、头脑短路状态的概率分别是50%、30%、20%;

3、如果前一次的状态是头脑短路状态,那么下一状态为超常状态、正常状态、头脑短路状态的概率分别是20%、30%、50%;

可得。。。

马尔可夫模型到底是什么

隐含状态间的转移概率图

马尔可夫模型的意义,用数学家亚历山大·辛钦的话来说,就是承认客观世界有这样一种现象,未来由现在决定,人们关于过去的知识丝毫不影响对未来的决定程度。

这种在已知“现在”的条件下,“未来”与“过去”彼此独立的特性被称作马尔可夫性质。换句更加通俗的话说:过去已是过去,未来还看当下。

马尔可夫模型的创立,在物理、化学、生物、经济、天文、军事等众多科学领域都产生了连锁性的反应,很快涌现出一系列新的课题、理论与学科,并揭开了概率论中一个重要分支——随机过程理论蓬勃发展的序幕。

文章由微信公众号超级数学建模(ID:supermodeling)整理编辑

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