马尔可夫模型到底是什么

过去已是过去

未来还看当下

超模君刚准备卧在沙发上休息，这时沉迷学习的9岁表妹拿着一本《信息论》跑来问：

表哥，这个马尔可夫模型是什么呀？

超模君：嗯…这个嘛，不难不难，等下解释给你听。

趁着表妹在专心玩手机，超模君赶紧偷偷百度了一下“马尔可夫模型”。

说起马尔可夫模型，那当然要先了解下马尔可夫（Andey Makov）:

安德烈·马尔科夫（1856－1922）

马尔可夫生于俄国梁赞，是彼得堡数学学派的代表人物及中坚力量，以数论和概率论方面的工作著称。

他创立并且发展了著名的马尔可夫模型及马尔可夫链理论，为随机过程的发展奠定了基础，他还研究并发展了数论与概率论等等。

然而，他曾经是一个“叛逆”的热血青年，讨厌陈规陋俗。

除了数学课之外，其它课程都不感兴趣。所以，少不了挨老师的骂，妥妥的老师们眼中的“坏学生”。

作为一名“叛逆”青年，马尔可夫在思想上体现出了对社会现状的不满及批判精神。这源自于他所偷偷阅读皮萨列夫、车尔尼雪夫斯基、普希金等人的文学评论及政治文章。这也使得他对社会问题，人文科学都极为关注。

1913年，马尔可夫利用概率思想分析了普希金的长诗《叶甫盖尼•奥涅金》，统计了长诗中元音字母和辅音字母交替变化的规律。他将所得到的结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较，证实了俄语中字母的随机序列符合他所建立的概率模型，阐明了马尔可夫链的性质。

有趣的是，一般数学家研究的成果的冠名是由大众及其它数学家们所认定的，而马尔可夫则自己命名了“马尔可夫链”。

咳咳咳，坐好小板凳，考试重点来了。

考试月临近，小天要准备考试了。假设她考试的时候，是按照一定的顺序做题，每道题有做对和做错两种结果。

设她每一道题答对的概率只与前一道题的结果有关。若当前小天答对了一道题，则下一题她还答对的概率是70%；若当前小天答错了一道题，那么下一题她还答错的概率是60%。

每一道题的结果就是一个状态，由于每一道题答对的概率只与前一道题的结果有关，则小天答题的过程满足马尔可夫性质，是一个马尔可夫过程。

可以得出其中的转移矩阵是：

然而故事并没有这么简单。

小天考试的时候有三种状态：超常发挥状态、正常发挥状态、头脑短路状态。

每个状态小天答对题目的概率不同，比如说：

1、超常状态，做对题目的概率是90%，做错的概率是10%；

2、正常状态，做对题目的概率是70%，做错的概率是30%；

3、头脑短路状态，做对题目的概率是30%，做错的概率是70%。

在观察小天作答每一道题的正误情况，才发现小天是个面瘫，无法从她的外部神情了解到她处于哪一种状态。

也就是说，小天处于什么状态对我们来说是隐藏的、不可见的。我们只能通过一些特征来估计小天处于什么状态。

比如说，小天在考试中连着做对了10道题，那么小天处于超常状态的可能性最大。

可以发现，小天所处的状态就是隐含状态，题目的正误结果就是可见状态，它们之间的概率称为输出概率。

哟，这不就是个简易的隐马尔可夫模型吗？

然而，一般情况下，小天不会一直处于某一状态中，她做题的状态会随着时间而变化，即隐含状态之间也存在转移概率。将这个例子再改进一下。

设小天做第一题时为正常状态。每做一道题，小天的状态就有一定的概率发生变化，且新的状态只与前一状态有关，也就是小天的答题过程具有马尔可夫性质，具体设定如下：

1、如果前一次的状态是正常状态，那么下一状态为超常状态、正常状态、头脑短路状态的概率分别是30%、50%、20%；

2、如果前一次的状态是超常状态，那么下一状态为超常状态、正常状态、头脑短路状态的概率分别是50%、30%、20%；

3、如果前一次的状态是头脑短路状态，那么下一状态为超常状态、正常状态、头脑短路状态的概率分别是20%、30%、50%；

可得。。。

隐含状态间的转移概率图

马尔可夫模型的意义，用数学家亚历山大·辛钦的话来说，就是承认客观世界有这样一种现象，未来由现在决定，人们关于过去的知识丝毫不影响对未来的决定程度。

这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性被称作马尔可夫性质。换句更加通俗的话说：过去已是过去，未来还看当下。

马尔可夫模型的创立，在物理、化学、生物、经济、天文、军事等众多科学领域都产生了连锁性的反应，很快涌现出一系列新的课题、理论与学科，并揭开了概率论中一个重要分支——随机过程理论蓬勃发展的序幕。

文章由微信公众号超级数学建模（ID：supermodeling）整理编辑