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2.1 时域数学建模
控制系统数学模型定义：描述系统内部物理量（状态变量）之间关系的数学表达式；
1.线性元件微分方程：
已知由RLC组成的无源网络，列写以Ui(t)为输入量，Uo(t)为输出量的网络微分方程。
根据电路理论，对电容C列写节点电压方程KCL：假设电抗器流过的电流为i(t)，此电流等于电容流过的电流
对电感L列写回路电流方程KVL：
把电容方程带入电感方程中：
这是一个非常重要的二阶线性微分方程；
把方程变换为下面的形式更加实用：
谐振频率：
阻尼比：
而品质因数Q的公式为：
可获得阻尼比与Q之间的关系：
当Q<0.707时，系统不发生谐振峰值，即电容电压不产生过电压现象，由此可知，阻尼比大于0.707时不发生谐振峰值，这就是阻尼比的物理意义，能够加大系统阻力，使得系统在谐振点不产生谐振。
2．列写直流电动机微分方程，电枢直压Ua(t)为输入量，Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为电动机轴上的总负载转矩，励磁电流为常数，求电动机转速ωm(t)为输出量；
直流电动机将输入电能转换为机械能，带动负载旋转；
能量传递过程：电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流Ia(t)，电枢电流与励磁磁通作用产生电磁转矩Mm(t)，电磁转矩克服负载惯性Jm和粘性摩擦fm作用，拖动负载旋转角速度ωm(t)；因此，电能到机械能的转换需要三部分实现，电压电流方程，电流转矩方程，转矩机械方程；
电压电流方程：
Ea是电枢反电动势，方向与电枢电压Ua相反。反电动势与转速和励磁磁通成正比；可以这样理解：转速越大，电流Ia越小，为了满足上述方程，在稳态下，只能是Ea减小；励磁磁通越大，电机产生同样的转矩所需的电流Ia会变小，同样需要Ea减小；
Ce为反电动势系数；
电磁转矩方程：
电磁转矩是通过电动机线圈电流与励磁磁通相互作用产生的力矩，因此，转矩与电流Ia成正比，Cm为电动机转矩系数，Mm(t)为电枢电流产生的电磁转矩；
电动机轴上转矩平衡方程:
由此，把中间量Ia(t),Ea,Mm(t)消掉，便可获得输出角频率ω与输入电压Ua之间的微分方程：
电机电感L比较小，可以忽略，则微分方程由2阶近似为1阶微分方程，
式中，Tm=RJm/(Rfm+CmCe)，K=Cm/(Rfm+CmCe)
当电枢电阻R和转动惯量Jm都很小，则1阶微分方程进一步近似为线性方程：
电动机输出转速与输入电压成正比；这说明，可以用伺服电机作为检测元件，测量角速度；
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