八年级数学 夹半角模型

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夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程之巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题

夹半角模型分类：

（ 1 ） 90°内夹 45°；（ 2 ）90 °外夹 45 °；（ 3 ） 120 °夹 60 °。

【题型一】 90°夹 45 °

例 1 如图，在四边形 ABCD 中，/ BAD =∠ B =∠ C =∠ D = 90 °， AB = BC = CD = AD ， E 在 BC 上， F 在 CD 上，且∠ EA F = 45 °，求证 ： ( 1 ) BE + DF = EF ； ( 2 ) ∠ AEB =∠ A E F .

思路分析： 显然，猜想EF=DF+BE，∴有进行线段截移，AD=AB，∠ DAF +∠ BAE = 45 ° =∠ EAF，因此，考虑将△ADF旋转到 △AGB。

证明 ：

( 1 ) 延长 CB 到点 G ，使 BG = DF ，连接 AG .

∵△ ABG ≌△ ADF ( SAS ), ∴∠ DAF =∠ GAB ， AG = AF .

∴∠ DAF +∠ BAE =∠ GAB +∠ BAE =∠ GAE = 45 ° ，

∴△ GAE ≌△ FAE ( SAS ), ∴ GE = EF ， 即 BE + DF = EF .

( 2 ) 由 ( 1 )△ GAE ≌△ FAE ， ∴ ∠ AEB =∠ AEF .

【题型二 】 90 °外 夹 45 °

例 2 在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上， F 在 DC 延长线上，其余条件不变，

证明： ( 1 ) DF – BE = AF ； ( 2 ) ∠ AEB +∠ AEF = 180 °。

证明 ： ( 1 ) 在 DC 上截取 DG = BE ，连接 AG .

∵△ AEB ≌△ A GD ( SAS ), ∴∠ EAB =∠ GAD ， AE = AG .

∴∠ EAB +∠ BAF =∠ GAD +∠ BAF =∠ FAG = 45 ° ，

∴△ EAF ≌△ GAF ( SAS ), ∴ GF = EF ， 即 DF – BE = EF .

( 2 ) 由 ( 1 ) △ EAF ≌△ GAF ( SAS ) ， ∴ ∠ AEB =∠ A GD ， ∠ AEF =∠ AGF ，

∠ AEB +∠ AEF = ∠ AGD +∠ AGF = 180 ° ， 即 ∠ AEB +∠ AEF = 180 ° .

【题型二】 120°夹 60°

【例 3 】已知如图， △ ABC 为等边三角形， ∠ BDC =120° ， DB = DC ， M 、 N 分别是 AB 、 AC 上的动点，且 ∠ MDN =60° ，求证： MB + CN = MN ．

模仿题型一，可解，有问题，可以在下面留言，一起研究！