任意角三角函数的定义

我们在初中的时候学过锐角的三角函数的定义:正弦(对边比斜边)、余弦(邻边比斜边)、正切(对边比邻边)。初中的三角函数是对于锐角来说的,我们首先确

我们在初中的时候学过锐角的三角函数的定义:正弦(对边比斜边)、余弦(邻边比斜边)、正切(对边比邻边)。初中的三角函数是对于锐角来说的,我们首先确定一个直角三角形,再求角度的三角函数值。但我们所学的三角函数值都是仅限于锐角来说的。而没有学过负数角度,和0度角度,以及直角的三角函数值。而我们 今天要讲的就是任意角度的三角函数值。

我们先来看看任意三角函数值的定义一:

任意角三角函数的定义

正弦和余弦的定义

任意角三角函数的定义

正切的定义

任意角三角函数的定义

注:任意一个角的三角函数值与它的终边上取值的点时无关的。三角函数值的定义二:设P(x,y)为角α的终边上任意一点,r=(x²+y²)^½,那么

sinα=y/r, cosα=x/r,tanα=y/x,特别地,若取r等于1,那么x=cosα,y=sinα。这与我们前面给出的三角函数值的定义一是一致的。

于是从这里可以看出:

当一个角度的终边落在第一象限时,它的正弦和余弦都是正的,因为x和y都是正的。

当一个角度的终边落在第二象限时,它的余弦是负的,正弦是正的,因为x是负的,y是正的。

当一个角度的终边落在第三象限时,它的正弦和余弦都是负的,因为x和y都是负的。

当一个角度的终边落在第四象限时,它的正弦是负的,余弦是正的,因为x是正的,y是负的。

由三角函数的定义再结合我们熟记的30°、45°、60°角的三角函数值,我们可以得出很多角的三角函数值。比如说:

sin150°=1/2,cos120°=-1/2因为我们知道sin30°=1/2,而30°和150°角的终边是关于y轴对称的。所以他们终边上对应点的y一样大,于是y=sin30°=y=sin150°=1/2。而cos60=1/2,而60°和120°的终边是关于y轴对称的,所以y相同(即正弦相同),但x互为相反数(即余弦互为相反数)。(没看懂的可以看我的视频讲解)

任意角三角函数的定义

三角函数值在各个象限的正负性

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义

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