基于分数的生成模型之随机微分方程(SDE)

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1 常微分方程(ODE)

1)假设给定一个由递归定义的迭代的离散时间算法：

中，β为某个超参和∆t为步长大小参数。迭代并不复杂：给出xi−1，通过更新得到xi。

如果通过令xi = x( i/N )，∆t = 1/N 以及 t ∈{0, 1/N ,. . . , N−1/N }得到连续时间函数x(t)的离散形式，那就可以将迭代重写为：

整理各项可得

在∆t → 0取极限，可以将离散方程写成一个常微分方程(ODE)

不仅如此，还可以求解ODE的解析解是

2)ODE提供了一个解析解。解析解并不依赖于递归(有可能需要成百上千的迭代次数)， 而是精确地告诉我们解在任意时刻t的形式。 下图展示了由上述算法定义的解x1, x2,. . . , xi,. . . , xN的轨迹。在这里，选择∆t =0.1。在同一张图中，我们直接画出任意t的连续时间解x(t)= exp{−βt/2}。可以看出，解析解与递归预测的轨迹完全重合。

• 离散的递归形式可以写成连续的常微分方程。实际上，对于任何有限差分方程，都可以将递归转化成一个ODE。

• 对于简单的常微分方程可以写出确定形式的解析解。复杂的ODE很难写出解析解。但是仍然可以使用ODE工具来分析解,还可以推导出t → 0时的极限解。

3)一个（一般的）卷积函数f的梯度下降算法应当满足下述递归。对=i =1, 2,. . . , N，

其中，βi为步长大小参数,令β(t)= β)，得到递归可以被等价写成

在令∆t → 0和∆x → 0后连续方程被确定。这个方程的有意思的地方在于，通过写成dt的形式，得到了一个更新∆x的总结。也就是说，如果沿时间轴移动dt，那么x的解就会随dx更新。

如果考虑一个迭代序列i =1, 2,. . . , N，且迭代过程，那么就可以得到：

其称为前向方程，因为在t ← t +∆t前提下，我们通过x +∆x来更新x。

现在，考虑迭代序列i = N, N − 1,. . . , 2, 1，那么反向的时间迭代就是

注意在反向迭代过程时符号的变化,称这个方程为反向方程.

2、SDE的前向和反向迭代

用于扩散模型的微分方程的概念范围远不止上述的梯度下降算法。如果把噪声项zt ∼N(0, I)引入到梯度下降算法，那么ODE就会变成一个随机微分方程(SDE)。同样使用下述的离散化方案，通过定义x(t)为0 ≤ t ≤ 1上的连续函数。假设区间内有N个步长，则区间[0, 1]就可以被划分为序列{ i/N| i =0,. . . , N − 1}。离散化后就可以得到xi = x( i/N)以及xi−1 = x( i−1/N )。 区间步长为∆t = N ， 那么所有t的集合就是t ∈{0, N1 ,. . . , N−1N }。使用这些定义就可以得到：

现在，定义一个随机过程w(t)，使得当∆t很小时z(t)=

,在计算上，可以通过对z(t)求积分（这是一个维纳过程）求得这样一个w(t)。w(t)定义好后，可以得到：

上面的公式说明了SDE的一个共性，也就是前向扩散：

f(x,t)和g(t)是有物理含义的。漂移系数是一个向量值函数f(x,t)，它定义了在没有随机效应下封闭系统中的分子运动形式。 对于梯度下降算法， 漂移由目标函数的负梯度定义。也就是，我们希望得到跟随目标梯度的求解轨迹。

扩散系数g(t)是一个标量函数，描述了分子如何从一个位置随机走到另一个位置。函数g(t)决定了随机运动有多剧烈。

扩散方程的逆方向是在时间上逆向移动。根据Anderson 的Reverse-time diffusion equation models，逆向时间的SDE为：

其中pt(x)是x在t时刻的概率分布，w是逆向时间的维纳过程。

3 DDPM的随机微分方程SDE

1）DDPM的前向SDE

为了说明DDPM和SDE之间的联系，考虑离散时间的DDPM迭代。对于i =1, 2,. . . , N：

定义一个步长大小∆t = 1/N ，考虑一个辅助噪声等级{βi}，其中βi = βi/Ni。然后

其中认为N →∞, βi =→ β(t)是在0 ≤ t ≤ 1上的连续时间函数。类似地，定义

因此可以得到

因此当∆t → 0时，有

因此，可见DDPM的前向更新迭代可以等价地被写成一个SDE。能够把DDPM前向更新迭代写成一个SDE意味着DDPM估计可以通过求解SDE被确定。也就是，对于一个被恰当定义的SDE求解器，可以把SDE扔到求解器里。这个被恰当选择的求解器返回的答案就是DDPM估计。当然，并不需要使用SDE求解器因为DDPM迭代本身就是在求解SDE。但可能不是最好的SDE求解器， 因为DDPM迭代只是一个一阶的方法。

2）DDPM的反向SDE

根据Anderson 的Reverse-time diffusion equation models，逆向时间的SDE为：

代入适合的量：f(x,t)= − β(2t) and g(t)=√β(t)，得到

通过考虑dx = x(t) − x(t − ∆t)和dw = w(t − ∆t) − w(t)= −z(t)，就可以写出迭代更新方案。然后，令dt =∆t，可得

整合各项，并设β(t)∆t ≪ 1，可得

然后，通过令t ∈{0,. . . ,N−1/ N }，∆t =1/N，x(t − ∆t)= xi−1，x(t)= xi以及β(t)∆t = βi，离散化方案就得到确定，可得：

其中pi(x)是x在i时刻的概率密度。考虑实施的可行性，可以使用估计的分数函数sθ(xi)代替∇x log pi(xi)。所以，我们就发现了其实DDPM迭代和Song博士定义的是一致的。这样我们就可以用分数函数和DDPM迭代产生关联了。Song博士将SDE称之为方差保留(VP)的SDE

4、朗之万动力学(SMLD)的随机微分方程SDE

1）前向过程SDE

分数匹配的朗之万动力学模型也可以用SDE定义。首先，注意到在SMLD设置中，并不存在一个真正的“前向扩散步骤”。但是可以粗略地认为，如果将SMLD训练中的噪声尺度划分为N个级别，那么递归应该遵循一个马尔可夫链

如果我们认为xi−1的方差为σ2i−1，就可以得到：

因此，给定一个噪声序列，就会产生估计xi，使得噪声数据可以满足期望的属性。

假设{σi}在极限上对0 ≤ t ≤ 1是连续的σ(t)。如果令t ∈{0,1/ N,. . . , N−1/N }，{xi}Ni=1就变成了x(t)，其中xi = x( Ni )。可以得到

当∆t → 0时求极限，等式就会收敛为

2）反向过程SDE

和标准的SDE前向过程对比可以得到

因此，如果写出逆向等式应该得到

对于离散时间迭代，我们可以先定义α(t)=

然后，使用与DDPM相同的离散化方法，可以得到

这就和SMLD的逆向更新等式一样了。Song博士称这个SDE为方差爆炸 (VE) SDE