函数的基本性质2——奇偶性

今天我们来讨论函数的基本性质2–函数的奇偶性。

废话少说，先来看它们的定义：

奇函数定义

奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫奇函数。

看完定义，有些同学还是很懵逼。没关系，举个例子你就懂了。函数f(x)=x就是一个奇函数。你套一下就知道：

f（-x）=-x=-f（x），满足f(－x)＝－f(x)

所以，f（x）=x就是一个奇函数。

再来看偶函数：

偶函数定义

偶函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数.

同样的，举个例子就明白了。f（x）=x2就是一个偶函数，同理，你套一下就知道了：

f（-x）=（-x）2=x2=f（x），它刚好满足f(－x)＝f(x)的形式，所以它是偶函数。

根据上面欧阳老师所举的2个例子，细心的同学应该发现了：关于x的幂函数f（x）=xn，只要n是奇数，它就是奇函数；比如n=3，f（x）=x3，是奇函数。只要n是偶数，它就是偶函数；比如n=4，f（x）=x4,是偶函数。恭喜你，居然额外发现了幂函数的秘密！

关于幂函数，下节课老师会讲到。下面欧阳老师要提几个关于函数奇偶性的问题。

问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？

强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .

问题2：－x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？

奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.

2. 奇函数与偶函数图象的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

注意！函数奇偶性的这2个特点非常重要，且是一个互为逆反命题，且都成立。

好，下面来做一些练习：

练习题

自己先做，后面有答案：

练习1的答案

判断函数奇偶性的步骤：

第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断

f (－x)＝－f (x).

对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：

是奇函数但不是偶函数；

是偶函数但不是奇函数；

既是奇函数又是偶函数；

既不是奇函数也不是偶函数.

再来一道难一点的题练练手，这道题会的话，说明对于函数的奇偶性你已经掌握地非常好了。题目和答案都在图片上了，如果不会做的同学，想知道解题过程，可以私信我。

最后再来总结一下今天所学的内容：

关注我，后续更新！