第二类线积分与格林公式

最近，我在学习多元微积分时，遇到了不少困难，对于许多概念有点混淆，对于不少公式老是记不住，今天我们就对高数中的这部分内容进行一点点讲解，以下的内容均为我自己的理解，对于数学上可能缺少严谨性，其中可能也存在错误，仅供大家参考理解。

第二型线积分：

首先，我们研究一个实际问题，当一个力作用在物块上时，当这个力的大小和方向不变，且物块沿着直线运动时，力所做的功为

现在当我们的力和直线不在一条直线上，力所作的功如何来表示呢？根据中学学过的知识

，我们可以知道，用向量的形式表达就是

，也就是向量F和AB做点积。再把难度提高一点，假如这个物块的运动轨迹是曲线，力的大小也在不断变化，我们如何能够得到力所作的功呢？要解决这个问题，我们就要拿起微积分这有力的武器了。

微积分就像是一把西瓜刀，可以把曲线砍成一段一段的。当我们“刀工足够好”，把曲线砍的足够细密时，切开的每一小段曲线就可以近似的认为是直线了。就像我们每个人虽然生活在地球这个球上面，但是我们却感觉不到地球是弯的。现在对于每一段微小的曲线，我们可以认为作用在曲线上的力大小不变，运动方向确定，这时力F做的功就变成了第二种情况

，

把所有小弧段上力做的功加起来，便得到了整条曲线上力F做的功W，这样我们就可以定义第二类线积分

。

知道了第二类线积分

，但对于

我们如何进行计算呢？在中学的时候我们就学过，定义了沿x，y轴方向的单位向量，我们就可以把任意一个向量用坐标的形式来进行表示。显然变力A(M)，很小的一段位移ds是两个向量，自然这两个向量可以用坐标表示出来。假设

，根据向量内积的公式，我们就能够把这个第二类线积分表示为

这样，沿着曲线做的功就可以算出来了：

格林公式

我们已经知道如何求出F沿着曲线运动做功的大小，如果我们把曲线变得特殊一点，让这个曲线不再是随便的一条曲线，而是一条封闭的曲线，如何求这个力在封闭曲线上所做的功呢？答案是显然的，封闭曲线也还是一条曲线，力所做的功仍然可以用第二类线积分来进行表示。当然，力所作的功是有正负之分的，首先，我们把逆时针方向规定为正方向。这样子我们就可以把这个力作的功表达出来了

，和之前相同，我们把F和ds都用坐标进行表示，这一次，我们把它在xoy平面进行表示

，这样我们得到

。

现在，我们来考虑另一种方法来求力F在封闭曲线上是如何做功的，如图

我们知道，力F可以用一个变量为x,y的函数表示，所以每确定一个位置，我们就可以确定这个位置的力的方向和大小，也就可以求出不同路径上F所做的功到底是多少。

我们把整个曲线分为S1，S2两个部分，显然在S1曲线上力所作做的功等于力在AB,弧BCA上做的功的和。在S2曲线上，力所作做的功等于力在BA,弧ADB上做的功的和，那么力在S1和S2曲线上做的功等于在在AB,弧BCA在BA,弧ADB上做的功的和，因为向量AB和向量BA方向相反，所以力做的功的大小也相反，则力做的功的和就是弧BCA，弧ADB上做的功，也就是在整个曲线S上做的功。现在，我们再次拿起微积分这把西瓜刀，把S区域这张大饼砍成无数多个小块。

类似于之前的思想，我们可以先把每一个小块（D1）上的功算出来，再把它们全部都加起来，这样我们便得到整个区域上的功。而就像把曲线S分成两个小块，中间的曲线上力做的功就抵消一样，无数个小块之间公用的曲线上力做的功也抵消了。这样我们算出的仍然是整个封闭曲线上力所做的功。现在我们开始计算区域D1上力做的功：

显然，这两种方法都是对同一个封闭曲线求力做的功，我们只是采取了两种不同的方法来进行计算，力做的功是相同的。这样我们就得到了最后的结论：

把这个公式叫做格林公式，通过这个式子我们可以看出，格林公式建立了平面区域上的二重积分与沿着边界曲线的第二型线积分之间的关系。

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参考书目：

工科数学分析基础 下册-马知恩等主编-高等教育出版社-1998

马同学高等数学：格林公式的几何意义是什么