矩阵对角化的意义

n阶矩阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量。若n阶矩阵有n个互不相同的特征值，则可对角化。

矩阵对角化是将一个矩阵变换为特殊形式的一种数学操作，其意义主要表现在简化数学表达式和求解系统方程组等数学领域中。

矩阵对角化在物理意义上可以说是把原矩阵分解成相互独立的矩阵，并使原矩阵A变换成可以容易确定特征值和特征向量的由特定特征值和特征向量组成的新矩阵，从而实现精确求解系统方程组。

可对角化矩阵是线性代数中一个重要的概念，指的是能够对角化矩阵的矩阵。这些矩阵可以写成一些初等矩阵的乘积，因此它们的作用在矩阵理论中是非常重要的。然而，可对角化矩阵是否一定可逆呢？答案是：不一定。

比如：

上图中的矩阵A是不可逆的。

矩阵A可对角化的充分必要条件：

图1

这里我们关键理解一下 Api=λipi 的意义。

由于λi是一个纯数字，而pi是一个向量，所以Api=λipi这个等式我们可以理解为：

当把一个矩阵A作用于一个向量pi上面，其效果等于将这个向量缩放λi倍，那么这个向量就是特征向量。

图1中的矩阵P则由这些特征向量构成。由于P可逆，所以我们可以认为矩阵P的列向量是一组基向量，这些基向量构成了一个线性空间：

Api=λipi等式的意义就是，如果存在一个线性空间，由这个空间的基向量组成矩阵P。矩阵A作用于矩阵p的列向量上面，会使得基向量各自伸缩λi倍，则λi就是特征值，pi就是相对应的特征向量。

特征值。

所以，矩阵A是否可对角化，不在于其是否可逆，而在于是否存在一个由线性无关的特征向量构成的矩阵P。