无穷多个，到底是多少个？

无穷多个

到底是多少个

提到无穷这个概念，你首先想到的什么呢？是浩瀚的宇宙？满天的星辰？还是永远数不到头的数？

人类对无穷的发明或者叫做发现，是人类认识的一次飞跃，同时也恰恰映衬了人类的渺小。

今天我们就从数学上聊一聊无穷。

相信大家最为熟知的无穷应该就是从简单的自然数列开始的。

当我们从1开始数2,3,4,5,6…的时候，我们发现我们永远也数不到头。

无论数到一个多么大的数，永远都会有比之大1或者大更多的数。

以此类推，总有更大的一个数存在。

有了这个最初的无穷印象，接下来我们可以思考一下，我们熟悉的奇数列、偶数列是不是也是无穷的？当然是肯定的！

那么第一个问题出现了——同样是无穷大，自然数列1,2,3,4,5…和偶数列2,4,6,8,10…能否比较大小，孰大孰小？

有的人可能觉得当然是自然数列了，毕竟看上去比偶数列明显多了一个奇数列的数出来，甚至可以猜测自然数列的数量应该是偶数列数量的2倍！！

的确，一切好像都是那么的合理。

可是！可是！如果我们稍作对应，看看有什么不同？

把每个自然数乘以2，我们得到2,4,6,8,10…的数列，也就是：

1*2=2；

2*2=4；

3*2=6；

4*2=8；

5*2=10；

….

惊讶的一幕出现了（反正当时笔者在看到此的时候，激动了很长时间），到底发生了什么？

最左列的自然数与最右侧的偶数列是一一对应的，从集合上讲，是一个映射。

一一对应的意思是什么——有一个自然数就有一个偶数与之对应。

从这个角度而言，自然数列与偶数列是一样的多的！

没错！它们的无穷是一样的！

同样，通过乘以2再减1，自然数列与奇数列也是一一对应的，它们的无穷也是一样的！

没错！没有弄错，自然数列的子集和它自身可以一样多。

这在有限集合中简直是不可能的事情，在无限集合的尺度上，竟然就奇迹的发生了。

至于是为什么会这样，只能说明，无穷很神奇，神奇的出乎意料，超出常识！

无穷量级的集合关系，与有限的量级的集合关系有很大差异！

我们迈出了关于无穷大小的第一步！

接下来继续深入，问题二——小数，或者说是有理数的无穷有多大？

还记得有理数是哪些吗？

有理数是整数和分数的集合，如果把整数看成是分母为1的分数，那么可以直接把有理数看成是分数，或者是两个整数的比值。

为了介绍方便，我们引入一条直线，或者称作数轴。

前面的自然数就是一维数轴上原点右侧均匀间隔的无穷多点。

有理数是数轴上的哪些点呢？

好像一下子说不上来，但是我们可以肯定的是，有理数是数轴上密密麻麻的布满整个数轴的一些点。

而且在临近的两个自然数之间有无数多个有理数点存在，任何两个有理数之间甚至有无数个有理数存在。

虽然有些绕，但是说明的问题就是，有理数是很紧密的，而自然数没有那么紧。

貌似，有理数比自然数要多，而且要多很多？

那么。。。是这样的吗？

既然有理数可以看做两个整数的比值，那么我们按照如下图的方式进行构造，就可以把正有理数排列出来，负有理数同样也可以排列出来。

所以，结论就是，有理数也是可以从1开始一直数下去的。

有理数与自然数的无穷同样是一样的。

哇…世界观有没有又被刷新了。

那么，神奇的直线上剩下的数还有什么呢？

无理数（无限不循环小数）！

不禁要问，无理数有多少呢？

无理数是否也能够按顺序排列出来，就像有理数一样？

这个问题着实有些困难。

说到这里，不得不引出一个数学家Georg Cantor。

对于实数总体的无穷级别，Cantor给出了精彩的论述。

大概思路是这样的：

他按照二进制的方式来表示一个实数。

假设实数是可以排列出来的话，那应该表示成下述的样子：

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …)

s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …)

s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …)

s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, …)

s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1 ,…)

s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, …)

s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, …)

…

下面他取所有数字的二进制表示中的一位，按照表中下划线的规则来取。

然后取所得数字的相反数，得到S = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, …)。

S不同于排列出来的任何一个数字。

这样就与我们的假设矛盾，从而证明实数是不能排列出来的。

由于实数是有理数加上无理数，所以无理数是不可排列的，且与实数的无穷级别是一样的。

Cantor把自然数以及与自然数相等级别的集合的无穷量级定义为ℵ₀（希伯来字母，读作阿列夫0），把无理数以及与其等级别的集合的无穷量级定义为ℵ，是一种比ℵ₀更大级别的无穷级别。

Cantor进一步得出结论，实数的无穷量级也是ℵ，并且即使在诸如[0,1]区间上的点的无穷量级也是ℵ。

现在我们有了更清楚的认识，一条直线上的点的无穷量级是ℵ。

也就是说，Cantor认为直线是由点组成的，是一个点集，无穷集合。

集合的无穷量级是ℵ。

著名数学家大卫·希尔伯特1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题。

第一个问题就是关于今天讨论的问题。

通俗的解释是：在无穷量级ℵ₀和无穷量级ℵ之间是否存在其他的量级，史称连续统假设。

经过多名数学家的论证，得出结论：在ZFC公理体系下，该假设无法证明正确与否。

说了这么多，你可能要问，我只要知道直线是由无穷多个点组成的，就可以了，管他是什么量级呢，反正又没有其他影响。

我相信这是很多读者都会产生的疑问，甚至这是很多基础和理论科学面临的窘境。

我希望通过下边的故事，给大家从一个侧面做出解释。

Cantor师从Karl Weierstrass，可能非数学专业的人对Weierstrass不是很熟悉。

Weierstrass被誉为分析学之父，数学分析这门课中大名鼎鼎的ε-δ语言便是由其发明， Weierstrass对微积分赋予了分析学上严谨的逻辑结构。

然而，随着一些学者对微积分研究的日渐深入，传统的Riemann积分暴露出了一些问题。

Riemann积分应该是我们接触最多的一种积分方法了。

物理、化学甚至经济学中都是应用黎曼积分对具体问题进行计算和处理。

比如，给出速度和时间的函数关系计算位移等等。

然而，Riemann积分自身的方法对被积函数的连续性等性质有着较高要求，在遇到一些奇异函数时候就变得无能为力。

比如说，Dirichlet函数（图2），这引起了包括Weierstrass在内的很多人的关注。

微积分是建立在极限的基础之上，极限本身就要依赖于实数的性质。

Cantor就是在这样的背景下着手关于实数性质的研究，也就是我们标题提到的——数一数直线上的点。

回到积分。

积分的意义是曲线围成的图形面积，Riemann积分的定义是建立在对区间长度分割的基础上。

基于Cantor在集合特别是实数连续统方面的研究，Lebesgue把积分概念置于集合测度理论框架中（测度可以通俗理解为点集的长度），引入了新的积分定义，把有界实值函数的值进行分划（Riemann是对定义域进行分划），计算每个分划中定义域点集的测度，然后累加求极限。

Lebesgue对他的积分思想给出过精彩的比喻：一个人要偿还一笔钱，如果依次从口袋里取出不同面值的钞票，逐一相加计算总额，还给债主，这是Riemann的做法。

另一种做法是把钱全部拿出来把相同面值的钞票放在一起，然后再求和，这就是勒贝格积分。

通过Lebesgue积分很容易可以得到上边Dirichlet函数的结果为1。

除此之外，点集测度理论和Lebesgue积分也是整个概率论的理论基础，有机会再做详细介绍。

说到现在，我们对直线有了新的认识，也是初步的认识。

简单总结一下吧！

在科技腾飞的今天，我们可以把宇宙飞船送上遥远的太空，可以利用核能，可以无线通讯，甚至如今我们的人工智能技术也有了重大发展。

在这些伟大的科技发明面前，我们大多数人感觉到，人类有了高超的本领能够驾驭当前甚至未来。

但是，仅仅是一条直线，我们从小学就接触并熟知的直线，都没能得到彻底解决，没有明确的答案。

可见，人类的认识仍然有限，数学作为人类理性思维、科学精神的基础之一，在基础研究方面仍然有很多问题需要去思考和解决。

我们有理由相信，我们可以通过努力去解决一个又一个问题，去接近真理。

因为，现在的我们就是从过去这样一步步走过来的!

本文作者：

伊随，中国科学技术大学，计算机专业博士，主要研究兴趣是人工智能和大数据。

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