什么是Fractals分形？

想象一下，你有一片比萨饼，你想测量它的周长，但你只有一根5英寸的冰棍棒。你把棍子放在披萨周围，尽力而为，并确定它是15英寸左右。但是地壳是一条曲线，侧面不是完全笔直的，所以这只是一个近似值。相反，让我们使用1英寸的牙签，它可以更紧密地跟踪比萨饼的不规则形状。我们的周长为16.33英寸，但我们仍在偷工减料。现在，让我们买一个显微镜，使用一个0.01英寸的小棍子，它可以进入每个缝隙，并跟踪伸出的每一个小凸起。牙签的直线现在是一条摆动的颠簸线，必须更长。我们现在可能测量17.878”。调高放大倍率并重复 – 周长会越来越长。

这就是分形背后的想法。在分形图像中，您可以继续放大，复杂性将不断增加。大多数分形具有某种自相似性，当您继续放大时，您会看到相同的形状和图案。

以下是分形的一些经典图像。第一个显示了一个称为科赫雪花的分形。它是通过从一个三角形开始，然后采取每条边并添加另一个突出的三角形来制成的。永远重复一遍，你就有了科赫雪花。

第二个是分形树，其中越来越多的分支被添加到先前分支的末端。这就是电影和视频游戏中CGI树的制作方式。最后一张图片显示了著名的曼德布洛特集合，并展示了放大时自相似性的特征。

什么是曼德布洛特分形？

曼德布洛特分形是通过一遍又一遍地递归重复特定的数学公式而产生的图像。这个数学公式使用复数，所以它不是一个直接的计算。对于图像中的每个像素，x 和 y 坐标用于描述复数 c = （x + yi）。然后，该数字被一遍又一遍地平方。

z1= c

z2= z12+ c

z3= z22+ c

z4= z32+ c

…

在某个时候，会发生以下两种情况之一：

• 分歧：这个数字会越来越大。如果这个数字增长超过一定的极限，那么它被称为“逃脱”，因为它将增长到无穷大。当它逃逸时，我们停止递归计算，但跟踪它在转义之前经过了多少次迭代。此迭代计数将用于为最终图像着色。
• 不发散：数字将收敛或反弹，但保持接近零。在某些时候（称为迭代限制），我们放弃并停止计算。不发散的数字是曼德布洛特集合的一部分。这些通常是黑色的。

在对图像中的每个像素进行此计算后，我们可以根据其迭代次数对发散像素进行着色，并将非发散像素着色为黑色，以获得曼德布洛特集的非常着名和独特的形状，如下所示。这些示例图像中的红色框显示了每个图像的放大位置，以生成下一个图像。注意模式的自相似性和递归性质。

曼德布洛特分形的性质

由于曼德布洛特分形是如此众所周知，因此一些名称已被赋予分形的某些部分和某些形状。当您探索曼德布洛特集合时，您将开始识别其中一些形状，并且当您继续放大到越来越深的深度时，您将看到它们如何一遍又一遍地重复。

心形和灯泡

最大的区域具有独特的心形形状，称为“主心形”。左边是一个圆形，称为“初级灯泡”。有无限多的小灯泡从曼德布洛特集合的周围分支出来。

海马谷

如果你放大到主心形和主灯泡之间的山谷，你就会进入海马谷，左边是双螺旋，右边是海马。

海马

这种独特的形状看起来像一匹海马。它可以在整个曼德布洛特集合中找到。

海马尾

如果你放大海马的尾巴，你会发现一个由更多海马组成的无限深的螺旋，每个海马都有自己的无限深的尾巴，由更多的海马组成。

双螺旋

在曼德布洛特集合中发现的另一个常见模式是无限深的双螺旋。从双螺旋的手臂分支出来的是更多的双螺旋！

天线

曼德布洛特形状的左侧是一个长而薄的天线，较小的天线从中分支出来。放大的越多，发现从其他天线分支的天线就越多。

米尼布洛特

如果你放大得足够远，你一定会找到隐藏在原始形状中的整个曼德布洛特形状的精确副本。这些较小的递归副本称为 Minibrots。

岛屿

如果你寻找它们，你会发现孤立的复杂性口袋，称为岛屿。每个岛屿本身就是一个词。