0 引言：英国的海岸线有多长

问：“要想确定英国的海岸线有多长得分几步？”

答：“三步！第一步，确定度量的比例；第二步，按选择的比例沿海岸线度量；第三步，计算并记录结果。”

然而，轻松之余，这实际上是个非常严谨的数学问题，但它又是个哲学问题。因为无论你的度量尺度选的多小，在比该尺度更小的尺度上，海岸线仍然会呈现出大量的无规则性（如下图），所以选择不同的尺度会得到不同的测量结果。

比如，如果我们的测量尺度是 200 公里，那么得出的结果大概是 2400 公里；当测量尺度变为 100 公里时，得到的结果是 2800 公里；如果进一步缩小测量尺度到 50 公里，得到的距离是 3400 公里。可见，随着度量尺度越来越精细，测量得到的英国海岸线的长度是一直增加的！

英国的海岸线只是真实世界中不规则的、支离破碎的几何形态的一个普通的例子。类似的例子还包括山峰的轮廓、股票的 K 线等。对于这些杂乱无章的几何形态和自然现象，经典几何无能为力，而“分形”的概念却大有作为（Mandelbrot 1977, 1982）。

1 分形

分形的概念由 Mandelbrot 提出。通俗的说，分形是局部和整体有某种方式相似的形状。该定义强调局部和整体的自相似性。

用上面英国海岸线的例子来说，如果我们用一个可变焦的放大镜来研究它的不同局部，那么无论我们选择什么样的焦距，我们看到的无规则几何形状都是类似的。又或者以股票的K线为例，不管我们看 5 分钟 K 线，15 分钟 K 线，日 K 线还是周 K 线（即我们在不同的频率上观察），我们看到的 K 线的随机形态也具有统计意义上的自相似性。

一个经典的分形例子如下面的 Koch 曲线（又称 Koch 雪花）。它由一个等边三角形按一定的规则无限递归构成，每一步都在上一步的基础上构造出形状相似但尺度更小（上一步中三角形的 1/3）的等边三角形。Koch 曲线的长度是无穷大的。但是无论我们以哪个尺度观察，看到的都是等边三角形。这就是局部和整体自相似性的完美体现。

迄今为止，分形并没有严格的定义（虽然它在数学上有严格和精密的表达式），但分形具有以下特征：

1. 分形集具有任意小尺度下的比例细节；
2. 分形集不能用传统的几何语言描述、分形的大小不能用通常的测度来度量；
3. 分形集具有某种自相似性，这可以是近似的自相似性或者统计的自相似性。

2 分形市场假说

Peters 将分形的概念引入到经济系统中，提出了分形市场假说 Fractal Market Hypothesis（Peters 1994）。该理论被认为比有效市场假说更能解释资本市场的动态变化。分形市场假说为金融市场的研究搭建了全新的框架。它认为：

1. 资本市场由无数的投资者构成，每个投资者有不同的投资期限；
2. 不同的市场信息对投资者产生不同的影响；
3. 资本市场的稳定性取决于其流动性，不同的投资期限、信息集和接近市场公认的公平价格确保了市场的流动性，从而稳定了整个资本市场；
4. 价格反映了短期技术分析与长期基本面分析的结合；
5. 如果某项资产与经济周期循环无关，那么它就不具备长期趋势，其波动主要由交易量、流动性和短期信息决定。

由于市场由数目众多的具有不同投资期限的投资者构成，因此市场呈现分形结构。在一个呈现分形特点的稳定的市场中，不同期限的投资者往往关注不同的信息，他们会按照各自的投资期限做有利自己的投资操作。比如当短期投机者因为热点减少而卖出股票时，长期的价值投资者便可能会在价格下降到他认为的合理位置买入。这就保证了市场的流动性。当市场的分形结构没有变化时，市场就是稳定的。

但是，一旦市场中的所有投资者的投资期限都统一时，市场就会因为缺乏流动性而崩溃。比如在金融危机时，金融市场未来的不确定性使所有投资者都望而却步。因此，所有投资者都想立刻卖出自己手中的筹码，这就造成了流动性的骤然枯竭。当风暴过去、市场开始缓慢恢复时，投资者们逐步对市场产生新的理性认知，从而市场中再一次充满了不同投资期限的投资者，这时便产生了一个新的具有分形特征的稳定市场。

分形市场假说和有效市场假说的主要区别如下表所示。

3 分形时间序列

具有分形特性的收益率序列就是分形时间序列。分形时间序列一般具有两个明显的特征：

1. 标度行为（自相似性或标度不变性），即该序列在不同的时间标度（分钟、日、周、月、年）下具有相似或相同的统计规律。
2. 长记忆性（long-term memory），即过去的信息对将来的事件产生长期的影响。

Peters 将源于自然科学的重标极差（R/S）方法和 Hurst 指数（Hurst 1951）运用到经济系统。R/S 方法通过计算 Hurst 指数有效地描绘不同频率上收益率序列在各阶矩上的自相似性的大小。Hurst 指数的取值在 0 到 1 之间。0.5 说明时间序列是完全随机的；当 Hurst 指数在 0.5 到 1 之间时，说明该序列有一定的长期正相关性，表示时间序列如果当前的数值比较大（或小），那么接下来出现的数值也可能比较大（或小）；当 Hurst 指数在 0 到 0.5 之间时，说明该序列的数值可能较大较小交替出现。

分形市场假说在欧美和我国股市都得到了很多实证的支持。有很多券商的报告中利用 Hurst 指数描绘股价走势是否有趋势性或者反转性，并以此开发择时策略。此外，在分形的基础上又发展出来了多重分形，来更好的刻画资本市场的非线性动态特征。

参考文献

• Hurst, H. E. (1951). Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of American Society of Civil Engineers, Vol. 116(1), 770 – 799
• Mandelbrot, B. B. (1977). Fractals: form, chance and dimension. San Francisco: Freeman.
• Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. New York: Freeman.
• Peters, E. E. (1994). Fractal market analysis: applying chaos theory to investment and economics. New York: Wiley.