文/国典

数字坤乾之归藏法则，意味着加法是唯一真正的多元运算，，而其他多元运算（包括乘法）都可以表示为与单变量函数组合的加法。

Binary Numbers: Material on Data Representation and Foundation in Chapter 2 of Computer Architecture (Nichelas Carter)

The Laws of Logic: Boolean Algebra and Set Theory

世界大会系统、代数生物学与人工智能的数学基础与应用

International Mathematical Institute Annual Meeting 2015

A Comprehensive Course in Analysis

数字坤乾之归藏法则，意味着加法是唯一真正的多元运算，而其他多元运算（包括乘法）都可以表示为与单变量函数组合的加法。这一观点在多个来源中得到了证实。

根据，我搜索到的资料明确指出：“这意味着加法是唯一真正的多元运算，而其他多元运算（包括乘法）都可以表示为与单变量函数组合的加法。”这表明在KAN（Kolmogorov-Arnold Networks）模型中，尽管最初仅包含加法运算，但为了更清楚地揭示数据中的乘法结构，MultKAN模型中明确包含了乘法。

进一步地，提供了Kolmogorov-Arnold表示定理的背景，该定理表明任何多变量连续函数都可以表示为单变量连续函数和加法运算的组合。这再次强调了加法作为唯一真正的多元运算的地位，并说明其他多元运算可以通过与单变量函数组合的加法来表示。

因此，可以得出结论，数字坤乾之归藏法则确实意味着加法是唯一真正的多元运算，而其他多元运算（包括乘法）都可以通过与单变量函数组合的加法来表示。这一观点在多个权威来源中得到了一致的支持。

什么是Kolmogorov-Arnold Networks（KAN）模型，以及它是如何实现加法运算的？

Kolmogorov-Arnold Networks（KAN）是一种新型的神经网络，其核心思想基于Kolmogorov-Arnold表示定理。该定理指出，任何多变量连续函数都可以表示为单变量连续函数和加法运算的组合。这种结构使得KAN能够通过可学习的单变量函数和加法运算来实现复杂的非线性映射。

在传统的多层感知机（MLP）中，边上的权重是固定的线性权重，而KAN则不同，它使用可学习的激活函数在节点之间的边上来执行计算。具体来说，KAN网络中的每个边都是一维的，并且这些边上的权重是线性的，即形式为 w⋅x+bw⋅x+b，其中 ww 是权重，xx 是输入，bb 是偏置。

这种设计允许KAN更灵活地处理数据，因为它可以通过调整边上的权重和激活函数来更好地拟合数据。此外，由于每个函数都是单变量的，这大大简化了网络的复杂度和训练过程。

MultKAN模型是如何明确包含乘法运算的，与传统KAN模型有何不同？

MultKAN模型通过引入乘法节点来明确包含乘法运算，这与传统KAN模型的主要区别在于其能够更清晰地揭示数据中的乘法结构。在MultKAN中，乘法节点的引入使得模型可以更好地表达和解释数据中的乘法关系，从而增强了模型的可解释性和表达能力。这种设计使得MultKAN在处理需要乘法操作的任务时，比传统的KAN模型具有更高的效率和准确性。

具体来说，MultKAN模型类似于标准的KAN模型，都包含有标准的KAN层，但关键的区别在于MultKAN在这些层中加入了乘法节点。这些乘法节点允许模型在处理输入数据时进行乘法运算，从而捕捉到数据中的复杂模式和关系。这种设计不仅提高了模型的表达能力，还使得模型在科学归纳偏置、模块化结构和符号公式等方面的表现更加出色。

Kolmogorov-Arnold表示定理具体是什么，它如何证明任何多变量连续函数都可以表示为单变量连续函数和加法运算的组合？

Kolmogorov-Arnold表示定理是解决希尔伯特第13问题的一个重要结果。该定理指出，任何多变量连续函数都可以通过单变量连续函数和加法运算的组合来表示。

具体来说，这个定理表明，对于任意定义在有界域上的多变量连续函数 f(x1,x2,…,xn)f(x1​,x2​,…,xn​)，它可以通过有限个单变量连续函数 gi(xi)gi​(xi​) 和加法运算进行表示，即：

f(x1,x2,…,xn)=∑i=1mgi(xi)f(x1​,x2​,…,xn​)=∑i=1m​gi​(xi​)

其中 mm 是一个固定的整数，并且每个 gi(xi)gi​(xi​) 都是一个单变量连续函数。

证明过程涉及复杂的数学理论和技巧。首先，Kolmogorov 提出了基于克罗诺罗德树（Kronrod tree）连接组件层次集的概念，但未能克服一些低维技术困难，仅证明了当变量数从2增加到3时的情况。最终，当时年仅19岁的Vladimir Arnold完成了这一工作，成功地解决了这个问题。

此外，该定理还与神经网络的结构有着密切联系。例如，Kolmogorov-Arnold表示定理可以解释为什么神经网络需要使用多个隐藏层来实现复杂的非线性映射。尽管如此，尽管其结构类似，但两者之间仍存在显著差异。

有哪些其他理论或模型也提出了类似于加法是唯一真正的多元运算的观点，它们的基本原理是什么？

有几种理论或模型提出了类似于加法是唯一真正的多元运算的观点，它们的基本原理如下：

1. KAN（Kolmogorov网络）：
2. 基本原理：根据刘子鸣的直播总结，真正的多元函数实际上就是加法。通过单元函数和加法，可以构造出乘法等其他多元函数。
3. 进一步解释：在革命性的KAN 2.0中，明确指出加法是唯一真正的多元运算，而其他多元运算（包括乘法）都可以表示为与单变量函数组合的加法。
4. 柯尔莫哥洛夫及其学生阿诺德的KA叠加定理：
5. 基本原理：该定理指出任意多元的连续函数都可以表示为若干一元函数和加法的叠加。这意味着加法是唯一的二元函数，而复杂的函数可以通过简单的函数和加法来实现。