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今年5月末，一位儿时因七巧板爱上激活成功教程谜题、进而创造谜题的芬兰人，解决了一个数学上的百年谜题。在他之前，有一位中国的折纸和解谜高手也曾为激活成功教程这道难题做出重要贡献。
撰文 | 嘉伟
似乎人类很喜欢拼图类的游戏。在不同的文明中，各式各样的拼图玩具被不同时代的人反复发明。根据著名的《阿基米德重写本》（Archimedes Palimpsest），阿基米德曾将一个正方形分解成14块，思考如何将碎片以不同的方式重新组合在一起，形成一个正方形。源自中国的七巧板，更是给世界各地的儿童带来无限乐趣的益智玩具。今年5月末，一位儿时因七巧板爱上激活成功教程谜题、进而创造谜题的芬兰人，解决了一个数学上的百年谜题。
阿基米德的14块碎片拼正方形难题Ostomachion。
剖分谜题
在19世纪后期，当报纸和杂志开始刊登各种智力趣题填充版面时，这些谜题的受欢迎程度大大提高。美国的益智谜题创作者萨姆·劳埃德（Sam Loyd）和英国的亨利·杜德尼（Henry Dudeney）是最受欢迎的出题人。从那时起，拼图和相关衍生谜题就被用于娱乐和数学教育。
劳埃德曾向公众发起智力挑战：一个木匠需要将一个主教冠形状（一个正方形切去1/4，即剔除一个等腰直角三角形后）的木板切割成几块（要求块数最小），才能经过再拼接，重组成一个小正方形？劳埃德后来给出了自己的答案，遗憾的是，他的构造并不正确。劳埃德认为分成适当的4小块，便已足够。
图中人手中拿着的那个东西就是所谓的主教冠mitre形状。
在数学上，将正多边形和其他简单的几何形状分解成若干块，然后重新拼成另一种形状，叫做平面面积剖分（Dissection）。剖分可以说是拼图游戏的专业升级版：玩家由借助已知的碎片完成拼图，升级到为了实现图形的重组，自行设计和切割出合适的碎片。
剖分后来成为马丁·加德纳（Martin Gardner）1961年11月在《科学美国人》上发表的“数学游戏专栏”的主题。他在专栏里再次向公众介绍了劳埃德的问题——“主教冠问题”（Miter-Dissection Puzzle）。虽然读者们踊跃参与，但没有人能想出4块的拼法，人们至少要把原图形分解成5块，才能把它们重新拼出一个正方形。
直到劳埃德过世百余年后的2024年5月27日，mathstodon社区一位名为Vesa Timonen的用户贴出了下图：
4块拼图
先解释一下图片里的内容。
最上面一层是劳埃德在1901年提出的问题：把左侧的图形剖分后，重新拼成右侧的图形（正方形）。
从上往下第二层是劳埃德自己给出的解答。从图里可以看到，他借助台阶错合的技巧，想要构造出正方形。但是，简单计算一下就知道无法得到正方形。
第三层则是历史上亨利·杜德尼给出的5块剖分的构造。当然，除了杜德尼之外，还有其他人也给出了自己的5块剖分构造，其中包括国内一位名为傅薇的折纸和解谜高手。甚至在Vesa Timonen后来开列的参考文献里，就包括傅薇发表在微信公众号上的一篇文章《折纸思路新解百年数学题》（也就是文末参考资料2，作者给出了新颖的5块解法）。
Timonen认为傅薇的这篇文章，是在他之前对这个问题梳理得最好的文献。虽然他看不懂中文，但是借助翻译软件读完了全文。感兴趣的朋友可以找来一读，其中还有很详细的计算，可以解释为何劳埃德的方法行不通。同时，由于一直找不到4块剖分，一段时间以来，人们倾向于认为，不存在4块的解法……
至于第四层，就是Timonen本人发现的4块剖分解法。
想出剖分方法是很困难的，但是验证已有的方法则非常简单。数学界在初步检验过后，就有人疑惑道：Vesa Timonen是谁啊？他又是怎么做到的？
双重身份
Vesa Timonen拥有双重身份，白天按部就班地上班，干的是令自己讨厌的嵌入式软件工程师，晚上则是才华横溢的智力玩具谜题设计师。尽管他在数学圈子里毫无名气，但Timonen是芬兰最杰出的益智玩具设计师之一，也是为数不多的拼图设计师之一。甚至在国内的智力玩具（如巧环、鲁班锁这种）爱好者圈子里，也有很高的知名度。
工作中的Vesa Timonen
他从小就对魔术感兴趣，但是随着年龄增长，他更愿意去激活成功教程魔术。后来，他的叔叔教他玩七巧板，他们开始一个接一个地解决七巧板的难题。等成年后，他开始自己设计谜题。他的许多作品都被Hanayama Cast系列收录。Hanayama是一家对于谜题爱好者来说非常有影响力的日本玩具公司。
Timonen认为，任何人都可以通过不断尝试和分析失败来创造出独特的谜题。他还强调，失败是创作过程中的一部分，每次失败都会带来新的启示和灵感。
智力玩具设计师的笔记本上全是几何图形和数学计算
这一次，Timonen编写了一个软件，希望能借助现代计算机的算力系统地解决各种剖分问题。他选中的第一个问题就是主教冠问题，然后十分顺利地找到了答案。实际上，如果滑动边界，可以构造出无限多个4块剖分解法。
示意图（直观看起来图形可能边长不等，但实际上误差很小）
韩国延世大学的数学博士Jin-Hoo Ahn为Timonen的解法提供了一个无文字证明，大家可以欣赏一下。
图源：THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)
稍带一提，Jin-Hoo Ahn也是谜题爱好者，还会制造机关盒一类的智力玩具。或许就是因此和本文的主角有了交集。
更加数学
Timonen的4块剖分解里，有一个瑕疵：两边的绿色块其实是镜像对称的。也就是说，拼图的时候，绿色块没有区分正反面。Timonen尝试寻找不包含镜像对称的剖分方法，但始终未能成功。相反，程序找到了50多个不带镜像对称的5块解法。所以，或许并不存在4块非镜像的剖分解法，但我们还未能证明这一点。这也是这道百年谜题所缺失的最后一块拼图。
在数学上，我们有著名的华勒斯-波埃伊-格维也纳定理（Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem，1807）：对于任意两个多边形，都可以把其中一个分割成有限多个小多边形，并经过平移和旋转，拼合成第二个大多边形。
上述定理保证了剖分的可行性，但是当把“有限个”限制到具体的数值时（比如说今天的问题是4块），就无法保证仅靠平移和旋转就能拼合成功。翻转小块得到镜像，或许是必要的操作。
除了限制翻转-镜像的使用之外，人们有时对剖分加上一些更强的限制。如著名的铰接式剖分Hinged dissection。
在几何中，铰接式剖分（又称摆动铰链式剖分或杜德尼剖分）的所有部分都通过“铰链”的接点连成整体。如此一来，从一个图形到另一个图形的重新排列可以通过连续摆动链来进行，而不会（也不能）切断任何连接。通常情况下，我们假定在折叠和展开过程中允许碎片重叠。
铰接式剖分的概念是由前文提到的亨利·杜德尼推广的。他在1907年出版的《坎特伯雷谜题》（The Canterbury Puzzles） 一书中，介绍了著名的将正方形用铰链剖成三角形的方法。
然而，是否能把华勒斯-波埃伊-格维也纳定理推广到铰接式剖分上呢？亦即两个面积相等的多边形，是否必然能通过一个铰接式剖分化为彼此？这个问题一直悬而未决。
直到 2007 年，Erik Demain等人证明了必定存在这样的铰接式剖分，并提供了一种生成铰接式剖分的构造算法。即使要求摆动时组件不会重叠，这个证明也是成立的，而且可以推广到任何一对有共同剖面的三维图形。然而，在三维空间中，并不能保证组件重组时不会彼此重叠。二维平面上重叠的话，在物理上是很容易实现的——只要理解成运动过程中分出上下两层便可。但是三维构件彼此重叠，则是物理上的刚体无法实现的。只能当成是数学上的无实体对象。
化圆为方
前面的讨论始终停留在直线构成的图形上，那么，由曲线围成的图形也能剖分重组吗？或许最终极的剖分问题，就是化圆为方。
公元前450年左右，相信“理性统治世界”的哲学家、天文学家和数学家Anaxagoras，在因渎神而遭遇监禁的期间提出了一个现在著名的数学问题，即：仅使用圆规和没刻度的直尺，你能画出一个与给定圆等面积的正方形吗？
这个问题在1882年有了答案，当时德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明，这是一个尺规作图不能问题。他证明圆周率π是一种特殊的数字，称之为超越数（超越数还包括e）。
原本故事可以在这里画上句号。但在1925年，人类历史上最重要的逻辑学家之一的阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）通过调整规则重新提出了这个问题。他问，是否可以通过将一个圆盘切成有限数量的小块，用它们重新拼出一个正方形来？
1988年，Miklós Laczkovich正面回答了塔斯基的问题：圆形可以剖分后重新配置为正方形，大概需要把圆分解成10^50个碎片。但是相当长的一段时间以来，化圆为方的剖分方法里总是涉及一些无法直观展示和可构造的成分：存在面积无法定义（勒贝格不可测集）的碎片和面积为0的碎片（零测度集）。
直到前几年，加州大学洛杉矶分校的数学家Andrew Marks与现在在多伦多大学的Spencer Unger才提供了第一个完全构造性的化圆为方的证明：每个碎片都有明确的面积，无一例外。
代价是，他们要把圆分解成10^200个碎片，同时虽然理论上是可构造的，但过程太复杂，无法进行展示。
2022年2月，华威大学的Andras Máthé和Oleg Pikhurko以及维多利亚大学的Jonathan Noel在网上发表的一篇论文为这一古老的问题添加了新的内容。他们的作品虽然也把圆分为约10200块，但形状更简单，更容易形象化。甚至可以做成演示视频。
数学家已经有了进一步简化拼图碎片的想法，减少总数和不均匀性。Marks做过的计算机模拟实验表明——但未证明——分解可以至多用22块来完成。他认为最低数字可能会更低。
“我敢打赌，你可以用不到20块来化圆为方。”他说，“但我不会赌上1000美元。”
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