每天一点统计学——期望和方差

概率可以得知某些事件发生的可能性大小，但概率并非万能，它无法指出所发生的这些事情的整体影响，也无法指出这种整体影响对人的具体影响。这个时候就需要使用到期望了，期望的作用在于利用概率预测长期结果，以及量度这些预测结果的确定性。

什么是期望

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望并不一定等同于常识中的“期望”。“期望”也许与每一个结果都不相等。

例子：掷一枚六面筛子，其点数的期望是3.5，计算方式如下：

期望的计算公式

期望和均值有些类似，甚至计算方式也类似，但它描述的概率分布。为了求出期望，需要将每个数值x乘以该数值的发生概率，然后将所有结果求和。

期望的计算公式

下图是一张拉老虎机的结果概率图，x表示赢钱的数量，P(X=x)表示概率：

E(X) = (-1*0.977) + (4*0.008) + (9*0.008) + (14*0.006) + (19*0.001) = -0.77

这个结果表示：你能够期望在每一局赔掉0.77元。

期望指出一个变量的典型值或平均值，但并不提供有关数值分散性的任何信息，也就是说期望并不能反映一个变量未来的变化情况。一个游戏者玩老虎机，并不是为了每一局游戏输掉0.77元，他更希望的是能有好运气赢得更多的钱。这个时候方差就起作用了。

方差的计算公式

计算一批数字的方差方法如下：每个数字减去均值的差的平方，然后取所有结果的平均值。

类似地，计算变量X的方差公式如下：

方差的计算公式

其中μ是期望的另外一种写法。

接着上面老虎机收益的例子，求出老虎机收益的方差如下：

Var(x) =E(x-μ)2

= (-1+0.77)2 * 0.977 + (4+0.77)2*0.008 + (9+0.77)2*0.008 + (14+0.77)2*0.006)+ (19+0.77)2*0.001

= 2.6971

标准差是取方差的平方根，计算公式如下：

标准差的计算公式

变化的期望和方差

如果上面拉老虎机的规则变化了，赌资增加了，变化后的结果概率图如下：

计算可得出：

E(Y) = -0.85, Var(Y) = 67.4275

通过前后两次期望、方差的对比，可以发现它们之间的如下关系：

E(Y) = 5 * E(X) + 3,

Var (Y) = 5*5* Var(X)

新旧期望、方差如果基础概率保持不变，那么它们之间必定存在以下关系：

这就是所谓的线性变化，因为X发生的是线性变化，即基础概率保持不变，但数值变为新值，其形式为：aX + b。

独立观测值

如果老虎机的游戏规则保持不变，但游戏者同时玩多个老虎机，并且每个老虎机的期望、方差都分别为E(x)、Var(x)。这时每个老虎机的随机变量值都是一个随机变量值，表示为x1,x2,…xn。这时，期望、方差存在以下关系：