要说高等数学最难理解的部分，非“实数的完备性”相关的知识莫属。而实数的完备性第一个相关概念就是区间套的定义，不知道你知不知道这个定义，有没有好好理解这个定义，并且能熟练地运用它。
区间套的定义是这样的：
设区间列{[an,bn]}具有如下性质：
1、[an,bn]⊃[an+1,bn+1], n=1,2,…; (即a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1)
2、lim(n→∞)(bn-an)=0，
则称{[an,bn]}为闭区间套，或简称区间套.
用老黄自己的话说，就是：有一个区间列，左端点是数列an的各项，右端点是数列bn对应的各项，它具有如下的性质：
1、以第n项为端点的区间真包含以n+1项为端点的区间。或者说an单调增，bn单调减。不过这个说法并不特别准确。比如所有的元素不能都相等。因为那样就不存在真包含的关系。况且一般的区间概念，左端点都会小于右端点。但这个说法对一些判断区间套的练习又特别有用。
2、当n趋于无穷时，两个数列对应项的差的极限等于0. 即区间列中在第n个区间以后的区间长度都趋近于0.
那么就把这个区间列称为闭区间套，或简称为区间套。最近又有人提出开区间套的概念，以后老黄会给大家证明，开区间套和闭区间套，其本质是一样的。
下面举一个区间套的例子。区间列{[0,1/n]}，左端点的数列是常数列0，右端点是分数单位数列的对应各项。这个区间列就是一个区间套。这是因为：
1、左端点的数列递增，常数列既递增也递减；右端点的数列递减，即以第n项为端点的区间真包含以第n+1项为端点的区间。
2、当n趋于无穷时，两个数列差的极限等于0.
满足区间套的定义，所以区间列{[0,1/n]}就是一个区间套。
如果你还不能掌握这个概念，也没有关系！老黄为你设计了下面的练习：
下列区间列中，哪些属于区间套？哪些不属于区间套？为什么？
(1){[-1,1/n]}; (2){[1/n,0]}; (3){[-1/n, 1/n^2 ]}; (4){[0,n]}; (5){[1,1/n]}.
如果你能准确做出判断，就说明你对区间套的定义已经掌握得很不错了。
解：(1)不是区间套, 因为lim(n→∞)(1/n +1)=1≠0. 【端点两个数列的差在n趋于无穷时的极限等于1，并不等于0. 不符合区间套定义的第二个条件】
(2)不是区间套, 因为a1=1>1/2=a2. 【可见an递增是区间套的一个必要条件。另外，这个区间列和例题中的区间套对比，我们还可以得到：区间套同时交换所有区间的左右端点后，不能得到另一个区间套的结论。】
(3)是区间套, 因为[-1/n, 1/n^2 ]⊃[-1/(n+1), 1/(n+1)^2 ],
且lim( n→∞)(1/n^2 +1/n)=lim(n→∞) (1+n)/n^2 =0. 【满足区间套定义的两个条件】
(4)不是区间套, 因为b2=2>1=b1.【可见bn递减是区间套的一个必要条件】
(5)1>1/n (n>1).【左端点大于右端点，这样连区间列都算不上，就更不可能是区间套了】
现在你对区间套的定义有更深的理解了吗？
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