数列柯西收敛准则的证明，区间套定理及其推论的应用

#头条创作挑战赛#

证明数列的柯西收敛准则，是高等数学很喜欢探究的一个问题。因为在高数中，早早地我们就会接触到柯西收敛准则，然而对它的证明，却要用到比较靠后的知识。所以在“老黄学高数”系列视频中，数列柯西收敛准则的内容，出现在第77讲。在第78讲老黄还专门用戴德金分割定理进行了证明。然而比较常规的证明方法，还是用实数的完备性定理，比如区间套的理论来证明。

数列柯西准则是针对数列收敛的充要条件的。它的内容是：对任给的ε>0，存在整数N>0，使得对m,n>N有|am-an|<ε.

分析：其中必要性的证明非常简单，只要运用数列极限的定义就可以了。关键是充分性的证明，就没有那么容易了。

证： [必要性]若{an}收敛，设lim(n→∞)an=ξ，

由数列极限的定义知，对任给的ε>0，存在N>0，使得

对m,n>N有|am-ξ|<ε/2，|an-ξ|<ε/2. 【数列极限的定义，是《老黄学高数》第48讲的内容，第49讲还对其进行了解读】

|am-an|≤|am-ξ|+|an-ξ|<ε. 【这是绝对值的三角不等式的运用】

[充分性]若∀ε>0, ∃N>0，使得对n, N0>N有|an-a_(N0)|≤ε.【这里的N0就是定理条件中的m，绝对值符号内取相反数，并不影响结果。而取小于或等于ε的目的，是为了形成闭区间套。在比较数的大小时，小于可以写成“小于或等于”的形式，因为既然知道“小于”，“等于”这个关系就是多余的了。但反过来，“小于或等于”就不能随便写成“小于”，除非你知道它们的关系】

即在[a_(N0 )-ε, a_(N0 )+ε]中有{an}的几乎所有项(除有限项外)；【这一步指示了求闭区间，从而构造闭区间套的一个法则】

令ε=1/2, 则存在N1, 在[a_(N1 )- 1/2, a_(N1 )+1/2]上有{an}的几乎所有项; 【根据上一步构造闭区间套的法则，构造第一个闭区间，ε的赋值给了第一个闭区间的长度等于1，1/2是对应邻域的半径】

记[α1, β1]=[a_(N1 )- 1/2, a_(N1 )+1/2];【给闭区间区中各个闭区间一个命名的规则，第一个闭区间的端点以“1”为下标】

令ε=1/2^2 , 则存在N2, 在[a_(N2 )- 1/2^2 ,a_(N2 )+1/2^2 ]上有{an}几乎所有项;【这并不是区间套的第二个闭区间，它的长度被赋为1/2，但并不是第二个区间区的长度】

记[α2, β2]=[α1, β1]∩[a_(N2 )- 1/2^2 ,a_(N2 )+1/2^2 ]有{an}几乎所有项;【上面的闭区间与第一个闭区间的交集，才是区间套的第二个闭区间，端点下标记为“2”】

并满足[α1, β1]⊃[α2, β2], 及β2-α2≤1/2.【这样才能保证第二个闭区间包含于第一个闭区间，并且区间的长度是不大于1/2的】

依次取ε=1/2^3 ,…, 1/2^n , …可得闭区间列{[αn, βn]}, 每个区间都含有{an}几乎所有项;

并满足[αn, βn]⊃[α_(n+1), β_(n+1)], 及βn-αn≤1/2^(n-1) →0 (n→∞). 【这是区间套定义的两个条件】

即{[αn, βn]}是区间套，由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn, βn], n=1,2,….

又∀ε>0, ∃N>0，使得当n>N时有[αn, βn]⊂U(ξ; ε)，【这是区间套的推论】

∴在U(ξ; ε)内含有{an}几乎所有项，即lim( n→∞)an=ξ. 【“几乎所有项”相当于“除有限项之外的所有项”】

充分性得证! 从而数列的柯西收敛准则得证。

回头看看！上面既说，闭区间套中，每个区间都含有an的几乎所有项。又说，只有唯一的点ξ，同时属于所有闭区间，an的几乎所有项，难道就是克西一个点啊？也就是说ξ既是an几乎所有项，又是一个点，这到底是什么回事呢？

老黄认为，ξ的本质就是一个点，但它不是一个定点，而是一个动点，而且它不在一个较大的范围内运动，而是在一个极小的范围内不断地震动。这个极小的范围，就是ξ的邻域属性。

举个例子，如果ξ表示点1，即区间套两个端点的数列的极限都等于1，那么，它实质上可能是0.9的循环小数，也可能在无穷小数位上，出现一个“8”，一个“7”，或者一个“6”，都不影响它表示1的事实。再或者它是1.0的循环小数，同样可能在无穷的小数位上出现其它非0的数，这也不影响它表示1的事实。

最令人崩溃的是，它有可能同时表示前者，也表示后者，还有可能是前者和后者的无穷多种状态，要不怎么说它是an的几乎所有项呢？所以老黄才会认为它是一个“幽灵”嘛。