即闭区间［ａ，ｂ］的任一开覆盖Ｈ 都有有限的子覆盖
证1用反证法
(1)要证明的整体性质ｐ是：闭区间［ａ，ｂ］能用Ｈ 中的有限个开区间覆盖.与ｐ相反的 性质q 是：闭区间［ａ，ｂ］不能用Ｈ中的有限个开区间覆盖；
(2) 假设闭区间［ａ，ｂ］有性质q 将闭区间［ａ，ｂ］等分为两个闭区间，则至少有 一个闭区间［ａ１，ｂ１］也有性质q 。否则，［ａ，ｂ］有性质ｐ 如此继续得一闭区间 列，使每个闭区间都有性质 ，且［ａ，ｂ］⊃［ａ１，ｂ１］⊃ … ⊃［ａｎ，ｂｎ］⊃…；
（3）由闭区间套定理得数ξ属于所有的闭区间［ａｎ，ｂｎ］，ｎ＝１， ２，⋯，并且每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］有性质 q；
ξ属于所有的闭区间［ａｎ，ｂｎ］,是因为［ａｎ，ｂｎ］是由其前面的区间得到的；
可知，存在自然数ｍ，使［ａｍ，ｂｍ］⊂（α１，β１）， 这与［ａｍ，ｂｍ］具有性质q矛盾。
这是因为ξ属于无数个区间的交集，又必然可以被某个区间覆盖。
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