从中学数学到AI算法01：切线、导数、偏导数、梯度、梯度下降算法

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内容导读：切线、导数、偏导数、梯度、梯度下降算法，从中学、大学数学到人工智能，这些概念是一脉相承的。本文将这些知识进行大串联。

如果你是个中学生，读完本篇文章，你将会了解到，中学里学习的数学将来会在人工智能的哪些方面应用。如果你正在从事人工智能的学习研究，本文将有助于你系统地重温人工智能算法及其预备知识的前世今生。

(1)中学数学里的相切、切线、导数等概念。

曲线上某点A的切线是这样定义的：B是曲线上邻近A的点，以A为定点，当B点沿着曲线无限地接近A点时，割线AB的极限位置就是曲线在点A的切线，A点叫做切点。下面的GIF动画动态演示了这一过程。

我们可以绘制任意光滑曲线上的点的切线。下面几幅动图展示了圆、抛物线、正弦曲线、复合函数曲线上的切线。

有了切线和切点，我们还可以求出经过切点的法线，它与切线垂直。正弦曲线上任何一点的切线及其法线如下面的动图所示。

曲线上某点的切线的斜率，我们称之为曲线在该点的导数。当然，导数有其严格的定义，函数y=f(x)在x0处的导数定义为：函数y=f(x)在x0处的函数值的增量Δy与自变量的增量Δx之比在Δx→0时的极限，如下图所示：

当然，这个导数值与x0处的切线斜率是相等的。

导数或者切线斜率有什么意义？它反映了当自变量变化时，因变量变化的快慢程度。如下图所示，图中给出了抛物线上两点A,B的切线，显然B点的切线更陡峭，则在两点处，当自变量x有相同的变化量Δx时，B点的因变量Δy更大。明白这一点很重要。

在中学里学习的导数，仅限于单个自变量的函数。事实上，许多函数有2个或者更多自变量。那么此时导数该怎么定义呢？这就要用到偏导数。

(2)大学里的偏导数概念。

为了简化问题，数学家们想了一个巧妙的方法。例如对2元函数f(x,y),把y看作常数，则f(x,y)变成了一元函数，就可以按照中学里导数的定义求解出f(x,y)在(x0,y0)处对x的导数。同理，将x看作常数，可以求出f(x,y)在(x0,y0)处对y的导数。这个导数叫作对x或y方向的偏导数，如下图所示。

偏导数用下面的公式来表示。

偏导数反映了在(x0,y0)处，f(x,y)在某个方向上随该自变量变化而发生变化的快慢程度。

很容易将偏导数的概念推广到多元函数。

如果给偏导数添加方向，可以将偏导数变换为矢量形式。其变换方法为将各个方向的偏导数乘以该方向的单位方向向量，如下图所示：

则该矢量的和称为梯度，如上面的图所示。反过来，梯度矢量在各个坐标轴的投影的大小即为在各个方向的偏导数。

那么梯度有什么意义呢？根据前面的介绍，方向导数反映了函数值在各个方向上的最大变化率，梯度是各个方向梯度分量（偏导数乘以单位方向向量）的合成，则梯度自然反映了函数的最大变化率及其方向。

理解了这一点非常重要。它有什么用呢？

在人工智能的机器学习中，训练各种机器学习模型时，常常构造一个误差函数。为了避免正负误差抵消，常取模型输出与目标输出的误差平方和构造一个误差函数，也称为损失函数，如下图所示。

而这个误差函数中，有一些变量，譬如权重，是模型训练要优化的对象。

机器学习模型的训练，是一个反复迭代更新误差函数中的权重等变量，使误差下降的过程。自然，误差下降的越快，则模型训练用时越少。

联想到函数沿梯度方向的变化量最大，自然而然的想到，每次迭代都沿梯度方向降低误差，会使误差快速下降。看下图，假定它是一个2元变量的误差函数。误差函数存在极小值，则显然沿路径ABCDE误差下降到达最小值的速度最快。

简单的讲，梯度下降算法基本思想是：在当前位置，各个自变量沿各自的梯度方向变化，得到下一个位置。下图是该算法的描述，分别给出了误差函数和参数更新公式。

图中，a是学习步长，用来控制参数更新的快慢。

下图展示了一个1元误差函数梯度下降算法的过程。

总结：切线、导数、偏导数、梯度、梯度下降算法，从中学、大学数学到人工智能，这些概念层层递进，一脉相承。反过来看，人工智能的算法并不复杂，它的基本思想就蕴含在中学、大学学习的数学知识中。