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1.一元函数伸缩变换推导

我在前两篇文章中介绍过一元函数图像的平移变换、轴对称变换和中心对称变换。还有一种常见的变换，那就是图像伸缩变换，我先来推导一下一般函数y=f(x)的伸缩变换的表达式。

伸缩变换的就是函数图像的走势不变，在横向和纵向上进行一个方向或两个方向的拉伸或压缩。假设函数y=f(x) 的图像在横向上伸缩为原来的m倍，在纵向上伸缩为原来的n倍，原函数上任意一点(x0, y0)平移之后对应到点(x, y)，那么

上式即为一般函数伸缩变换后的函数表达式。当m>1时，函数图像在横向上拉伸为原来的m倍；当0<m<1时，函数图像在横向上压缩。当n>1时，函数图像在纵向上拉伸为原来的n倍；当0<n<1时，函数图像在纵向上压缩。

2.一般形式正弦函数图像的变换

y=sin(x)是最简单的正弦三角函数，更一般的正弦函数和余弦函数的表达式如下

均可由y=sin(x)进行平移变换、横向伸缩变换和纵向伸缩变换后得到。

上述变换是一个横向平移变换，可看作图像往x正方向平移-φ。

上述变换是一个横向伸缩变换，横坐标变为原来的1/ω倍。

上述变换是一个纵向伸缩变换，纵坐标变为原来的A倍。

形如下面表达式的余弦函数可由同样参数的正弦函数向x轴正方向平移-π/(2ω)

3.一般正弦函数图像变换演示

下面举一个实例，演示从y=sin(x)变换成y=3sin(2x+4)。

第一步平移变换，图像向左平移4个单位

第二步横向压缩变换，所有点的横坐标压缩成原来的1/2

第三步纵向拉伸变换，所有点的纵坐标拉伸成原来的3倍

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