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为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？或者，怎么理解统计学中「自由度」这个概念？

这是一个非常好的问题，探索这个问题的答案，不仅能更好地了解自己和这个世界，还能避免被征收“偏差税”Bias Tax！

先说结论，样本标准差的分母写成n-1，是为了对自由度进行校正，这叫贝塞尔校正（Bessel’s Correction）[1]。注意这个贝塞尔不是贝塞尔曲线（Bézier curve）那个贝塞尔。

为了让中学水平的读者就能理解，我尽量不用公式，用浅显的语言和生活中的案例，来叙述这个问题的来龙去脉。这算是对其他答案的补充，也许看完后，再看其他高手的回答就没那么难了。

在统计领域，你经常会看到，为了减少干扰数据对结论的影响，数学家设计了大量的技术手段来对数据进行校正。

先看一篇我改编的故事《比尔盖茨冲进酒吧》：

一天晚上，小镇酒吧里坐着9个人，大家都是小镇上的工薪族，年薪的平均值在5万美元左右。

从上面的数据和图表，你可以看出50000美元这个平均值，比较准确地体现了9个人的收入水平。

正在此时，比尔盖茨急匆匆地走进酒吧，冲向厕所……

假如比尔盖茨的年薪是10亿美元，在他上厕所的时间里，另外9个人啥也没做，加上比尔盖茨，10个人的平均年薪平均值一下子从5万爆涨到1亿美元。

如图，相比之下，和比尔盖茨相比，9人的年薪太渣，完全看不出高度，像二向箔一样薄。

而当比尔盖茨离开后，他们还是啥也没做，平均年薪却暴跌了近1亿美元。

9人抱头哭死在厕所……

剧终^_^

在这个例子里，比尔盖茨就是一个干扰数据，因为他的存在，让平均值的计算并不能体现酒吧里工薪族的真实平均水平，9人的平均年薪无缘无故地涨到了1亿。当然这个数也无法体现比尔盖茨的真实收入水平，因为他缩水到了1亿。

那统计学家应该怎么办呢？

在统计上，把比尔盖茨这种干扰数据称为异常值（Outlier）。

应对这种异常值，最简单的方法就是排除掉它们。在计算平均值时把比尔盖茨排除掉，就无法干扰平均值了。（当然实际应用比较复杂，排除异常值需要谨慎，不能随意的排除）

排除法这种技术手段也经常应用在比赛打分上。

我们知道裁判打分的主观性非常大，为了减少单个教练的影响，比赛通常会安排多个裁判一起给选手打分，然后再取一个平均值。

但实际上在求平均值时，还会再去掉最高分和最低分，然后对剩下的分数计算平均值。

这种排除最高/低分的手段也是为了消除干扰，因为最高分和最低分对平均值的影响比较大，会大幅偏离真实的水平。

例如，下面是10个裁判的打分：

上图中最高分把选手的平均值拉高了0.60分，你可能会说，这点分数不算啥，应该影响不大。

但在实际的比赛中，选手的差距通常非常的小，0.1分都会对选手的排名产生显著的影响。

为了尽可能消除其干扰，得到一个相对客观的平均值，通常在计算平均值时，会排除掉最低分和最高分，这样算出来的平均值叫裁剪平均值（Truncated mean）。

比尔盖茨和去掉最高/低分的这两个例子，都是为了说明统计领域的校正技术，用排除法来消除掉干扰数据的影响。

现在你也可能意识到了，在样本方差的计算上，分母使用（n-1），而不是n，也是一种排除法来消除干扰的技术手段。

为什么要减去1，这个1代表的是哪个数？

这个减去的1，不特指任何一个数，1代表那个失去“独立客观”的维度（自由度）。

看不明白？

正常，听我慢慢解释。

在我们在对全体进行采样时，有一个至关重要的前提条件，就是一定要随机采样，这其中的关键词是随机。

之所以要随机，这是为了避免出现样本偏差。因为如果样本错了，后面的计算步骤即使全部都正确，最终结果也是错的。

例如，要想回答“中国人是不是喜欢吃狗肉？”的问题。

请问，以下两个采样，哪一个能得到客观的结论？

只去玉林狗肉节上采样。
对中国人进行时间和地点都随机的采样。

两种采样方法，会得出截然相反的结论：

前一种采样很不自由，被限制在一个极其有限的时空里。
后一种采样有充分的自由，跳出限制，可以没有干扰的随机采样。

如果只在玉林采样，这个样本就是偏差样本（Biased Sample），是不具代表性的样本（Unrepresentative Sample）。

如果根据这个偏差样本，得出了“中国人居然吃狗肉，太野蛮了！”的结论。无论在逻辑上如何完美，最终结论也是荒谬的。

这就是所谓的“垃圾进，垃圾出”（Garbage in ， garbage out）[2]

你在玉林采样越多，你的偏见就会越深，只会进一步的固化你的偏见。

但自由的随机采样，你采样越多，你的偏见就会越来越少，看到更真实、更多样化的中国人。

在这里需要暂停一下：请大家反思一下，自己是不是也曾犯过同样的错误，取错了样本，出现了偏差或偏见（Bias）？

反正，我经常会犯这样的错误，轻易就相信传言[3]，或轻易给别人扣上帽子[4]，这都是偏见。

（罪过，罪过，宽恕我吧，我知道自己错了！）

我们普通人经常会因为样本偏差，被收取“偏差税”(Bias Tax)

例如彩票，就是利用了人们的这一弱点。

彩民们只注意到了那些极少数获得大奖的人，看不到绝大数人赔钱。

越是盯着那些获奖的人看，彩民们的偏见越深，越是坚信自己会中奖。

他们因为在选取样本时出现偏差，而被别人收税。

好吧，我承认，偏差税这个词是我根据智商税这个词编造出来的(^_-)。

很多人喜欢用智商税这个词来嘲笑犯错的人智商低，但智商税这个词是有偏差的。

因为不能根据一个事件就推算出一个人整体的智商，这是不具代表性的有偏样本，这是偏见。

例如很多彩民的智商很高，他们使用各种复杂的公式，做了大量复杂的计算，他们的智商一点都不低，他们的问题是出在样本偏差上。

而偏差税这个词和智商税不一样，不论我们的智商高低，人人都会有偏见，事事都会出偏差，这个税每个人都在交。

例如，股票市场上的散户，迷信中医和保健品的大爷大妈，轻信谣言的吃瓜群众，……，几乎无人可以幸免，都在为样本偏差付出代价。

推荐一个TED演讲《为什么应该热衷于统计学》。

看完就知道人们对这个世界的偏差有多大了。

所以人们不是智商出了问题，是在选取样本时出现了偏差，所以偏差税是一个更客观（无偏）的词。

其实，不仅是普罗大众，就是那些权倾一时的政治家，也曾为样本偏差付出过惨重的代价。

1948年美国大选，大部分报纸都预测杜威会战胜杜鲁门，当选美国总统。社会舆论一致看好杜威，以至于竞选当天，杜威认为杜鲁门很快就会打电话庆祝他当选。

但竞选结果却大跌眼镜，最终是杜鲁门当选。（是不是有些似曾相识？）

杜鲁门获胜后，兴高采烈的举着那些提前预测杜威击败杜鲁门的报纸，笑得好真诚啊！图片来源：https://www.youtube.com/watch?v=h4uUV1klrkM

这次的预测之所以会失败，是因为调查机构通过电话调查的方式做的采样。

1948年，虽然电话已发明多年，但价格并不便宜，有电话的多是相对富裕的家庭，多数人的家里没有普及电话。也就是说，这种采样是有偏差的，只反映了富裕阶层的观点，无法反映当时主流选民的意愿，也就是统计出现了样本偏差。[5]

在当时，除了很多美国人被误导，还有一个人也因为这个样本偏差，把所有筹码错压在了杜威的身上，结果却因此而丢掉了整个江山，此人就是蒋介石。本来杜鲁门在做副总统时就对蒋介石印象很差，在他当选后，更是变本加厉，很快减少了对蒋介石的援助。[6]

常凯申也哭死在厕所！

事实上，有太多的仇恨、歧视、偏见和武断的观点，是建立在样本偏差的垃圾数据之上的。

因为“垃圾进，垃圾出”，无论人们如何雄辩，逻辑上如何完美，算法上如何先进，结论也是一堆错误的垃圾。[7]

这是值得你、我、以及所有人都应该警惕的现象。

例如：你想知道当代日本人是怎样的。就不能只对抗日神剧进行采样，不能只对日本右翼进行采样，要获得真实的数据，必须去日本实地对日本人进行随机采样。

只有采样是随机，是不带偏差的（Unbiased），才能保证自己吃进去的不是垃圾信息，这是得出正确结论的第一步。

只要人人都追求无偏差，世界会变成美好的人间。

除了要做到采样是随机的，还要确保样本之间是互相独立的，在统计上用自由度（Degrees of freedom）来描述这种独立性。

我们以常见的招投标为案例，解释一下独立性。

有个学校要盖教学楼，邀请几个建筑公司来投标。学校希望建筑公司的报价尽可能低，而且还要确保质量。所以学校不能只选价格最低的方案，而是要挑选出综合评分最优的方案。

要做到公正客观的评分，必须确保几件事：

首先，学校不能让内部员工来评分，因为内部员工和项目有直接的利益关系，员工都希望自己在项目中获得更多利益，做不到评分上客观独立。

所以学校只能从外部请专家来评标，因为外人独立于学校之外，会减少直接利益所产生的影响。

于是学校计划邀请3个专家来评审，让专家对建筑公司的方案和报价进行综合评分。

其次，学校在挑选专家时，要尽可能确保这些专家之间的观点也必须是互相独立的，不能人云亦云。

假如其中1人是另外2人的上级，那上级说话，下级的观点就倾向于和上级保持一致，在评分时无法做到独立，这样的评分是有偏差的。花了3个专家的钱，却成了1个专家的一言堂。专家独立性从3变成了1，这偏差也太大了。

最后，学校还必须确保，任何一个专家都没有被建筑公司收买，是独立于建筑公司，没有利益输送的。

如果被收买了，专家就会修改评分，让贿赂的商家胜出，这个专家的数据也是不独立客观的。

从上面的这个案例里，你会发现独立的重要性，一旦出现利益关联，独立性就会降低，数据必然会出现偏差。

类似的制度设计非常的广泛，例如陪审团制度，就设计了大量的机制来保证陪审团成员的独立性。

电影《十二怒汉》剧照推荐重温一下《十二怒汉》这部经典，看看人们的偏见（Bias）是如何的根深蒂固，消除偏见是如何的困难。

几千年来，人类为了提高独立性，殚精竭虑的设计了各种精巧的制度，这些制度历久弥坚，逐渐成为了现代社会的基石。

在统计实践中人们发现，偏差的产生，很多时候也是因为样本数据之间出现了各种隐含的关联关系，降低了数据之间的独立性。

而解决的策略还很清晰，就是发现其中隐含的关联关系，然后进行校正。

让我们再回到样本方差（Sample Variance）的分母（n-1）上来。

你既然在看这个问题，那就已经知道了方差

的计算公式：

需要注意的是这里的方差

其实是全体的方差，μ是全体的平均值，n是全体变量的数量。

例如一家啤酒厂每天生产1万瓶啤酒，我们想知道这些啤酒的质量差异性如何，可以打开这1万瓶啤酒测量，再把所有测量结果代入到上面的公式里求方差，在计算中，没有漏下任何一瓶啤酒的数据。

你也发现了，这样做不仅麻烦了，而且成本极高。

更好方法是对出厂的啤酒进行随机的采样，计算这部分样本的方差

。

例如，随机的从产品中找出100瓶，用这100瓶来估算1万瓶啤酒的质量差异，注意，除了这100瓶的数据，其他9900瓶啤酒数据是完全未知的。

样本方差

它是从全体数据中随机取出一小部分所做的计算，用这个局部的100瓶啤酒的方差去估计全体1万瓶啤酒的方差。

上面这个样本方差

公式，尽管在形式上和全体方差

的公式近似，但是内涵上发生了天翻地覆的变化。

我们来比较一下，全体方差

和样本方差

：

全体方差

是一个客观事实（Fact），是对所有个体数据的全体所作的客观描述（Describe）。

而样本方差

更像一个观点（Opinion），是我们根据少量抽样个体的数据，对全体所作出的估算（Estimation），或者说是预测。

既然样本方差

不是一个事实，而是一个观点，是一种估算，为了让这个估算尽可能的接近事实，就必须注意样本不要出现偏差（Bias），否则就会“垃圾进，垃圾出”，得出错误的估算。

例如：

我们不能只对某批产品取样，某个特定时间取样，我们的随机取样必须尽可能地覆盖所有批次，取样要有充分的自由度，足够的随机。
另外还要注意，避免样本里的变量之间存在隐含的关联关系。

我们来看一个例子：

假设随机抽出的样本里只有两个数

如果这2个数是独立和随机抽取的，你就不能从x1猜出x2，例如我告诉你x1=10，请问x2等于多少？

你根本猜不出来，因为随机抽取让x2和x1之间没有关联。

但是，没想到的是，因为一个数据的存在，让这个随机取样产生了一个隐含的关联关系。

这个数就是计算样本方差

时，需要用到的样本平均值

，他的引入让随机抽取的独立性和自由度减少了一点点。

因为样本平均值

引入了一些信息，让x1和x2之间不再是相互独立的关系了。

根据平均值公式：

只要知道了x1和

，就可以计算出x2的值。

如果x1=10，

=10，那x2=10

同样，知道了x2和

，就可以计算出x1的值。

如果x2=10，

=11，那x1=12

也就是说，出问题的并不是x1或者x2，这两个数本来好好的，互相独立的。出问题的是平均值

，他引入的新信息，让样本数据之间的独立性减少了，关联性增加了。

或者还可以说，在平均值的介入下，x1和x2的自由度降低了，原来是两个独立的数，现在只有一个独立了，另一个则不再自由，好像有些人云亦云了。

同样的，对于更多的样本量：如果样本是3个数 {x1,x2,x3}

则知道了x1，x2，就能通过

，计算出x3，独立性或者说自由度，就从3降到了2。

如果样本是4个数 {x1,x2,x3,x4}

则知道了x1，x2，x3，就能通过

，计算出x4，独立性或者说自由度，就从4降到了3。

……

如果样本是n个数

则知道了

，就能通过

，计算出

，独立性或者说自由度，就从n降到了n-1。

平均值

让样本的独立性或自由度减少了1，导致了样本出现了偏差。

这就是为什么样本方差的分母不是n，也不是n-2或n-3，而是n-1的原因。

自由度变小会对样本方差产生什么影响呢？

这意味着，样本方差会变小。

我们知道，方差是通过计算样本和平均值之间的距离，来描述样本的分散程度，数据之间差异越大，方差越大，数据之间越是趋同，方差越小。

还是用专家评分的案例来解释：

如果专家组中，所有人都独立，每个人的评分会出现较大的差异性。

但如果专家组中有个领导，他自己没有任何主见，只是在看完大家的评分之后，取个折中的评分，是个老好人型的领导。

请注意，这个领导没有贡献任何新观点，他的观点不独立，只是重复了别人的观点，但这个重复数据污染了整体数据的独立性，让原本差异性较大数据，因为折中数据的出现，减少了差异，或者说，出现了一些趋同效应，这就产生了偏差。

回到样本方差

上，因为样本平均值

就是根据样本来计算的，样本平均值

成了那个贡献重复数据的领导，让原来独立的、随机的、没有偏差的样本数据，在计算加工过程中引入了偏差，减少了数据之间的差异性，这种趋同效应让样本方差

变小。

也就是说，数据取样没问题，是无偏的。但是在后来的方差计算中，均值的引入，让差异性减少，本来无偏的数据出现了偏差。样本方差会一直小于总体方差，这是一个有偏样本方差。

上面是有偏差的样本方差公式，是没有经过校正的。

普鲁士天文学家贝塞尔（Bessel）在对海量的观测数据做计算时，也注意到了这个偏差。

这个偏差的特点是：

在样本量小的时候偏差影响比较明显，样本方差比全体方差偏小。
但是当样本量增大时，偏差逐渐减少，直到影响可以忽略不计。

既然样本方差变小了，那干脆让分母变小，增大样本方差就行了。

贝塞尔给出了修正方法，即把样本方差公式的分母修正为n-1，所以这个修正被后人称为贝塞尔校正。

具体的公式推导过程，可以看Emory University的这篇关于Bessel’s Correction推导的文章 [8]

德国天文学家和数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔图片出处：https://zh.wikipedia.org/wiki/弗里德里希·威廉·贝塞尔

样本方差

公式里的分母n-1，就是这么来的，那个减去的1，就是用来校正

所带来的偏差，他不代表某一个样本，而是对自由度的补偿，让缩小的样本方差重新变大一点。

样本方差偏小是不是采样出现问题？因为越接近平均值，就越容易被采样？

从直觉上好像是这样的，比如下面的这个鱼类长度的分布，数据聚集在平均值106（蓝线）附近，如果采样，在平均值周围的确有更大的概率被采样到。

但是，直觉是靠不住的。上面的分布只是一种，还有很多的分布，其数据不在平均值附近，而是分散在四处。

例如，下面这个西班牙流感死亡年龄的分布：

数据并没有聚集在平均值43附近，如果取样，就会发现样本更大的概率是远离平均值，而不是在平均值附近。

所以样本方差出现偏小的原因，并不是因为平均值附近被采样到的概率更大，这只在部分情况下成立，在很多情况下并不成立。

样本方差出现偏差的原因和采样无关，也和平均值附近更容易被采样无关，因为在很多情况下，远离平均值的数据更容易被采样到，这无法解释样本方差为什么会比全体方差小。

更好的解释是，计算过程中引入样本平均值，降低了样本的自由度，减少了数据的差异性。

所以直觉也是靠不住的，事实上，有太多的偏差和偏见（Bias）是由直觉贡献的。

结论

样本标准差的分母写成n-1，是为了对数据进行校正，这叫贝塞尔校正（Bessel’s Correction）。
统计经常用各种方法来消除掉干扰数据的影响，例如比尔盖茨和去掉最高/低分的这两个例子。
样本数据之间也经常会出现各种隐含的关联关系，降低了数据之间的独立性或自由度（Degrees of freedom），这会让样本更聚集，让样本偏差变小。
样本方差公式里的分母n-1，就是校正样本平均值所减少的自由度，样本数据本身没有偏差，是计算过程中引入的新信息（样本均值），让计算结果出现了偏差。

【概率与统计】揭开样本方差n-1分母之谜

为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？或者，怎么理解统计学中「自由度」这个概念？

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