冬至 | 随机微分方程初探

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想象一下，你是一名对技术创新充满热情的投资者，对科技公司的股票市场表现保持关注。某天，你得知一家知名科技公司即将推出一项可能引领市场新趋势的创新产品。这个消息让你意识到，如果该产品大获成功，相关公司的股价可能会大幅上升；但如果失败，则可能导致股价下跌。你开始考虑是否应该通过购买期权来管理这种风险。

在投资领域，期权是一种重要的金融工具。它允许投资者在未来特定时间以特定价格购买（看涨期权，Call Option）或出售（看跌期权，Put Option）股票。这就像是你有机会决定是否以特定价格买入或卖出该科技公司的股票，而无论市场如何变化。

但问题是，这种机会的价值是多少？在高波动市场中，准确评估期权价值变得极为关键。这不仅关系到个人投资者的利益，也是金融市场健康运行的重要组成部分。而解决这一难题的关键，正是随机微分方程。

随机微分方程在现代科学和技术中的角色

随机微分方程（SDE）是现代科学和计算机科学领域中描述复杂系统的关键工具。它们在各种领域，从物理学的扩散过程到金融数学的资产定价模型中，都扮演着重要角色。本文旨在介绍 SDE 的基本概念以及其在期权定价中的一个简单例子。

理解随机微分方程：定义和基本解法

随机微分方程（SDE）在数学描述上是带有随机扰动的微分方程，通常形式如下[2,3]：

这里，X_t表示随机变量的状态，\mu(X_t, t)是漂移项（描述系统的趋势），\sigma(X_t, t)是扩散项（描述系统的随机波动），而W_t是一个维纳过程，代表随机扰动。

求解 SDE 的关键在于利用伊藤引理（Ito’s Lemma），它是随机微积分中的一个基本工具，用来处理随机过程的微分。具体来说，伊藤引理将函数的 Taylor 展开与随机过程相结合，以此来处理随机项dW_t的微分。伊藤引理可以表述为：

如果f(x,t)是一个在x上二次可微，t上一次可微的函数，X_t服从上面的随机微分方程，则过程Y_t = f(X_t, t) 的微分dY_t满足：

伊藤积分

在理解了伊藤引理之后，我们可以想到一个自然的问题：如何对随机过程进行积分？当我们尝试对一个随机过程进行积分时，直观上可能会考虑采用类似于黎曼积分的方法。让我们首先看看这种方法如何应用于随机过程。

黎曼积分的尝试

对于一个随机过程X(t)和布朗运动B(t)，我们可能想要计算区间[0, t]上的积分\int X(t) dB(t)。在黎曼积分的框架下，我们可以尝试定义这个积分为：

这里，区间[0, t]被划分为N个子区间[t_{i-1}, t_i]，并且在每个子区间使用起始点的值X(t_{i-1})进行计算。

但这样的尝试可能存在两个问题：

1. 随机过程的不确定性：在随机过程中，如布朗运动B(t)，每个子区间的增量(B(t_i) – B(t_{i-1}))是随机的。这意味着每个子区间内的增量直到区间结束时才能确定，导致整个积分过程充满不确定性。

2. 方差问题：布朗运动的特点是其增量的方差与区间长度成正比。随着区间划分变得更细，与确定性函数不同，这里的积分方差并不趋向于零。这种方差的存在使得用黎曼积分来逼近随机过程的积分变得不可行。

均方收敛和伊藤积分

为了解决这些问题，我们引入伊藤积分的概念，其关键在于“均方收敛”的定义。均方收敛意味着，当区间划分越来越细时，伊藤积分的和在平均平方意义上收敛到积分的真实值。具体来说，如果一个随机变量序列Y_n在均方意义上收敛到Y，则满足：

这里 E[\cdot]表示期望值。

考虑区间[0, t]的一个划分P，将其分为N个子区间[t_{i-1}, t_i]。对于一个随机过程X(t)以及布朗运动W(t)，在[0, t]上的伊藤积分定义为[1]：

在这个定义中，我们使用了区间起始点的值X(t_{i-1})，并且积分的和在均方意义上收敛到真实的积分值。这种方法允许我们有效地、稳健地处理随机过程的不确定性和方差问题，使得积分在随机环境中变得可行和有意义。伊藤积分与经典黎曼积分的还有一个区别在于伊藤积分使用的是每个子区间开始时的过程值，而不是结束时或中点的值。这反映了在随机环境中，过程的未来值无法知晓，因此不能以与确定性函数相同的方式用于积分。

小试牛刀：Black-Scholes 模型和期权定价

Black-Scholes（BS）公式是金融工程和数学中的一个基石，它用于计算欧式期权的理论价格。这个公式的创新之处在于它将资产（如股票）价格的未来走势建模为一个随机过程，遵循几何布朗运动的随机微分方程（GBM SDE）。通过解这个 SDE，BS 公式能够考虑到资产价格的波动性和期权到期时间等因素，为期权定价提供了一个数学框架。

资产的演化模型

我们将期权定价问题抽象化为一个数学问题。假设资产的价格随时间变化可以用几何随机微分方程表示：

其中：

• S_t表示时间t时的资产价格。
• \mu是资产的预期回报率。
• \sigma是资产价格的波动性（标准差）。
• W_t是一个标准布朗运动（Wiener 过程），反映资产价格在随机波动。

直观上，这个方程表明资产价格的变化由两部分组成：一部分是确定的趋势（由\mu决定），另一部分是随机波动（由\sigma和dW_t决定）。

要使用伊藤引理求解该 SDE，我们考虑一个关于资产价格的可微函数f(S_t, t)。根据伊藤引理，该函数的微分df(S_t, t)为：

考虑f(S_t, t) = \log(S_t)，对于f(S_t) = \log(S_t)，其导数为：

将这些导数代入伊藤引理给出的方程，我们得到：

两边积分，我们得到：

对两边取指数函数，我们得到 SDE 的解：

这是 GBM SDE 的显式解，展示了资产价格随时间的变化，给定了其漂移\mu、波动性\sigma以及随机过程W_t。解显示，资产价格的对数遵循正态分布，其均值由于-\frac{1}{2} \sigma^2项而随时间线性减少，由于\sigma W_t项而随时间线性增加的方差。

期权的演化模型

我们先具体介绍一下看涨期权的定义：它允许你在未来某个特定时间（到期日）以特定价格（执行价格）进行购买或出售某种资产。这种选择的价值取决于多种因素，包括资产的当前价格、未来价格的不确定性（波动性）、时间、以及无风险利率（即在没有风险的情况下可以获得的回报率）。

我们把期权定价形式化成一个数学问题，我们的目标是计算一个欧式期权的价值。对于看涨期权，其价值取决于未来资产价格与执行价格的比较。数学上，我们需要解决如下问题：计算在未来某个时间T（到期日），持有期权的期望收益的现值（即，将未来的收益按当前的价值折算） C(S_t, t)。同时记：

• r是市场中无风险利率；
• K是到期日的执行价格。

为了从资产价格的 SDE 推导出期权的价格，我们再次使用伊藤引理。伊藤引理允许我们将随机过程（如S_t）的微分转换为期权定价函数C(S_t, t)的微分，考察他的演化方程：

我们把上面纯资产的演化方程抄下来得到：

我们考虑这样一种投资模式，每买入/卖出1单位的期权，就卖出/买入\frac{\partial C}{\partial S}单位的资产。这个资产组合就是P=C-\frac{\partial C}{\partial S}S_t。这个投资演化方程在无限小时间内就是把上面两个演化方程加权求和为：

可以看到这是一个不存在波动性的投资，即一个无风险收益。在不存在套利的市场中，所有无风险市场收益均相等，设为r。那么用同样大小的资产构建一个无风险投资组合。从而导出 Black-Scholes 偏微分方程：

该方程的边界条件为在到期日t=T时，期权价格等于执行价格K，即 C=\max(S(T)-K,0)。

下面就是一些常见的解微分方程套路了，大概想法是S_T=K以为分界线分类讨论求出期望。这里地方太小我写不下，留给读者自行计算。

解上述 PDE 得到看涨期权的定价公式：

这里，S_t是当前资产价格，K是执行价格，T是到期时间，r是无风险利率，\sigma是资产价格的波动性。

直观上，这个公式将期权的价值分解为两部分：一部分是资产当前价格与执行价格之间的差值（考虑资产价格上涨的可能性），另一部分是执行价格折现至当前的价值（考虑资产价格下跌的可能性）。通过这个数学过程，我们能够从资产价格的随机动态中提取出期权的价值。

参考文献

[1] Itô, Kiyosi. “109. stochastic integral.” Proceedings of the Imperial Academy 20.8 (1944): 519-524.

[2] Oksendal, Bernt. Stochastic differential equations: an introduction with applications. Springer Science & Business Media, 2013.

[3] Le Gall, Jean-François. Brownian motion, martingales, and stochastic calculus. springer publication, 2016.

文 | 王宇萱

图 | 李柄辉