高中数学，函数零点的定义，运用二分法求函数零点近似值

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#大有学问#1．函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点.（函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根，零点一定在定义域内）

2.函数零点的性质

（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号；

（2）两个函数把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持不变。

3.函数零点的求法

（1）代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

（2）几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。

4．函数的零点与方程根的联系

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．

5．零点存在性定理

（1）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且f(a)f(b)<0，（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y=f(x)在区间（a，b）中存在零点，即存在x。∈（a，b）,使得f(x。)=0.

（2）分类：①变号零点：函数图像通过零点时穿过x轴；

②不变号零点：函数图像通过零点时没有穿过x轴。

注意：（1）一个函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点必须满足两个条件：

①函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线；

②f(a)f(b)<0。

（2）①由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．

②零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．

6．二次函数图象与零点的关系

判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般由判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成．

7.二分法求函数零点的近似值

（1）二分法的定义：对于在区间［ a , b ］上连续不断且 f ( a ) f ( b )<0的函数 y = f ( x )，通过不地把函数 f ( x ）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

（2）利用二分法求函数零点的一般步骤

①需依据图象估计零点所在的初始区间［ m , n ]（一般采用估计值的方法完成）.

②取区间端点的平均数 c ，计算 f ( c )，确定有解区间是［ m , c ］还是［ c , n ]，逐步缩小区间的”长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

注意：二分法的实质是通过”取中点”，不断缩小零点所在区间的范围．使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到函数零点近似值。

1．已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

解析：选B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数，∴f(－1)＝a(1)－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在区间(－1,0)上存在零点．故选B.

2．函数f(x)＝ln x－x(2)的零点所在的大致范围是(　　)

A．(1,2) B．(2,3)

C.，1(1)和(3,4) D．(4，＋∞)

解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－3(2)＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B　函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，

∵f(－1)＝e(1)－3＜0，f(0)＝1＞0，

∴f(－1)·f(0)＜0，

∴函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.