快乐说数：用二分法求方程的近似解

数学看上去枯燥无味，其实不然，掌握正确的学习方法，我们就能做到快乐学数学。学好数学大致能分为三个步骤：第一，梳理好知识点；第二，学好各种题型；第三：针对所学知识训练巩固。

现在我们来看今天要学的内容，先看下边用二分法求方程的近似解的思维导图：

接着我们针对着用二分法求方程的近似解展开来讲，首先是知识梳理：

知识点一　二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

思考　所有的函数都可以用二分法求零点吗？

答　用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值.

知识点二　用二分法求方程近似解的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)；

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).

③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).

接着是题型分类：

题型一　二分法概念的理解

解析　按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.

反思与感悟　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.

题型二　用二分法求方程的近似解

反思与感悟　利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.

最后是试题训练，并附上答案及解析：

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