根心定理1：点对圆的幂与两圆根轴

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点对圆的幂

什么是点对圆的幂，任意一点P对圆的幂定义如下：设圆的半径为R，圆心为O，则点P对圆O的幂等于P点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方，即PO²-R²。若点在圆外，则幂为过点P的圆的切线长度的平方；若点在圆上，则幂为0；若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点P且垂直于PO的弦长的一半的平方，如下图

点对圆的幂

P点在圆外时，过P点圆的切线PT²即为点P对圆O的幂，当P移动到P’在圆O上时，幂为0，当P继续移动到园内P”时，幂为负的TP”²。

根轴

若平面上有两个不同心的圆，对这两个圆等幂的点集是一条直线，这条直线就是这两个圆的根轴。根轴必垂直于两个圆的连心线。

设两圆的方程分别为

x²+y²+D1x+E1y+F1=0

x²+y²+D2x+E2y+F2=0。

将一般式化为标准式：

(x+D1/2)²+(y+E1/2)²=(D1²+E1²-4F1²)/4，(x+D2/2)²+(y+E2/2)²=(D2²+E2²-4F2²)/4，设点P的坐标为(x,y)，根据圆幂的定义有：

(x+D1/2)²+(y+E1/2)²-(D1²+E1²-4F1²)/4=(x+D2/2)²+(y+E2/2)²-(D2²+E2²-4F2²)/4，整理得

(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0，为一条直线，斜率k1=(D1-D2)/(E2-E1)，两圆连心线斜率k2=(E2-E1)/(D2-D1)，两者相乘k1k2=-1，所以两直线垂直，如果E2-E1=0，D2-D1=0，则两直线分别关于x轴y轴平行，仍然垂直。

以上是解析法寻找两圆的根轴，不是很直观，下面介绍用几何法寻找两圆的根轴。1、两圆相交

两圆相交，交点连线即为两圆根轴，如下图直线BC即为两圆根轴。

两圆相交情况

当A点在圆外时，A点对两圆的幂分别为AT²、AS²。由切割线定理有

AT²=AS²=AB·AC，满足要求。当A在圆内时，如下图，

两圆相交情况

则以点A为中点的弦的一半的平方取负号即为点A对两圆的幂(图中红色线)，根据相交弦定理弦的一半的平方=BA·BC，满足要求

2、如果两圆想切

如下图，两圆外切，很显然，公切线即为两圆根轴，内切同样如此。

两圆想切情况

3、两圆相离

两圆相离时，其根轴为两圆外公切线的中点连线所在直线。如下图，两圆外公切线

两圆相离情况

中点为BC，则直线BC为两圆根轴。设两圆公切线长度为2a，大圆半径R、小圆半径r，AD=b，BD=c，则OB²=R²+a²，因为BC⊥OP，所以OD²=OB²-OD²=R²+a²-c²，从而AO²=OD²+AD²=R²+a²-c²+b²，则点A对大圆的幂AT²=AO²-R²=R²+a²-c²+b²-R²=a²-c²+b²。同理可得点A对小圆的幂AS²=r²+a²-c²+b²-r²=a²-c²+b²，两者相等。

两圆内含情况根轴用几何方法寻找比较复杂，需要用到根心定理，下一篇再具体介绍。