刘蒋巍：平面几何解题方法

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平面几何解题方法

文/刘蒋巍

平面几何主要研究平面图形的几何结构和度量性质。在国内外各类中学数学竞赛中，平面几何问题常常因其精巧的构思、优美的图形结构和多样化的解法而受到特别青睐。

相对于中学数学课程的内容，竞赛中的平面几何问题所涉及的概念、定理和方法有大幅的扩展。

常见的平面几何解题方法，包括：面积法、复数法、同一法，等。

面积法

面积是一个重要的几何概念。在求解问题时，以考虑面积作为计算或论证的出发点、寻求几何对象之间关系的方法，称为面积法。

面积法常常可以用来解决与面积不明显相关的几何问题。例如，勾股定理，其许多证法都采用了“以不同方式计算同一图形的面积”的思路。

作为平面几何中的基本图形——三角形，其面积具有多种表示形式。由这些公式既可以推导其他图形的面积公式，也可以得到一些与面积有关的性质定理。

为方便起见，通常用记号S表示平面简单封闭图形的面积。以下是两个常用结论。

借助这两个结论，可使线段比与面积比相互转化，在解题中具有相当的实用性。

三角形的面积公式揭示了边、角等基本元素之间的关系，且常常涉及内切圆半径、外接圆半径等相关量，这是运用面积法解题时值得注意的。

此外，一些重要的平行关系都是通过面积导出的。以面积为线索常常能够方便地沟通几何元素，降低添置辅助线的技巧要求，减少分析问题的困难。

复数法

复数的四则运算、共轭运算、模运算等，均有鲜明的几何意义。特别是在解决与角度、旋转有关的几何问题时，复数乘除法的几何意义可以很好地用来描述条件和转化命题，使得复数法与解析、三角、向量等其他计算类方法相比，有其独特的效果。

同一法

同一法是一种典型的间接证明方法，在一个命题中，当满足题设的对象α具有唯一性，而又不易证明α满足结论时，可以先引入一个满足结论的对象α＇，然后尝试证明α＇也满足题设，从而由唯一性知α＇与α是同一对象。这样就间接证明了α满足结论。

此外，要解答好平面几何问题，常见的定理结论，如：等差幂线定理、共边比例定理、分角定理、 张角定理、梅涅劳斯（Menelaus）定理、赛瓦（Ceva)定理、Pascal定理、三角形五心（内心、外心、重心、垂心、旁心）性质、等角共轭、Simson定理、托勒密（Ptolemy） 定理、三弦定理、Stewart 定理、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆、圆幂定理、根轴、根心、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆、调和点列、线束等，都是需要掌握的。