布朗运动、伊藤引理——细说BS公式的前世今生（上篇）

在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价一直是困扰投资者的一大难题。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。

直到1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式（以下简称BS公式），即标准的欧式期权价格显式解，这个公式的精彩之处在于其中的变量全是客观变量，完全摒除了个体主观因素的影响。70年代至今，BS公式为投资者带来了巨大财富。

然而BS公式的推导并不是一帆风顺，在探索它的过程中，你必然会接触到布朗运动、伊藤引理，布朗运动用于描述证券价格的随机过程，伊藤引理提供了对随机过程的函数做微分的框架，最终造就了一个精彩绝伦的BS公式。

1. 布朗运动

布朗运动的发现和发展，有四个重要的时间节点：

1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。但是当时并不能从物理学角度上很好的解释其成因。

1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。

1905 年，爱因斯坦详细解释了布朗发现的这种运动：微粒的无规则运动是由水分子的撞击形成。

直到1918年，布朗运动严谨的定义才被维纳（Winener）给出，因此布朗运动又称为维纳过程。

（1）标准布朗运动

设

代表一个小的时间间隔长度，代表变量

在时间内的变化，遵循标准布朗运动的

具有的两种特征：

特征1：

和请点击此处输入图片描述的关系满足下式：

(2.1)

其中，

代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。

特征2：对于任何两个不同时间间隔

，的值相互独立。请点击此处输入图片描述

从特征1可知，

本身也具有正态分布特征，其均值为0，标准差为

，方差为

。

从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。

现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形。我们用z（T）-z（0）表示变量z在T中的变化量，它可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/

，因此，

(2.2)

其中是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，i是相互独立的，因此z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N

=T，标准差为

。

由此我们可以发现两个特征：在任意长度的时间间隔T中，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为0，标准差为

的正态分布。对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。

当时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：

（2.3）

（2）普通布朗运动

为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念——漂移率和方差率：

漂移率：是指单位时间内变量z均值的变化值。

方差率：是指单位时间的方差。

标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值。方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后，z的方差为1.0×T。我们令漂移率的期望值为a，方差率的期望值为b^2，就可以得到变量x的普通布朗运动：

dx=adt+bdz （2.4）

其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。

从上式（2.1）和（2.4）可知，在短时间

后，x值的变化值

为：

因此，也具有正态分布特征，其均值为a

，标准差为

，方差为

。同样，在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为

，方差为

2、伊藤引理

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当做变量x和时间t的函数，我们可以从公式（2.4）得到伊藤过程。

其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。

在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：

（2.5）

其中，dz是一个标准布朗运动。由于

和

都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，他的漂移率为：

，方差率为

。公式（2.5）就是著名的伊藤引理。

（未完待续）