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证明：闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身.
这个看似简单的问题，证明起来可一点儿也不简单哦！它需要从两个方面去证明，至少需要三个步骤。一方面要证明区间上的点都是它的聚点，而这些点又分为非端点和端点两种情况，它们的证明方法是相近但不相同的。另一方面要证明区间的聚点都属于这个区间。难道还有不属于某区间的区间聚点吗？这话说起来相当拗口。不过还真的有，比如实数域的开区间的两个端点都是开区间的聚点，但这两个聚点并不属于开区间。
按照这个思路，开始证明。以下的证明是基于聚点的定义的。如果对聚点的定义不理解，可参考《老黄学高数》系列视频第216讲，关于聚点定义的内容介绍，以及此后各讲中对聚点内涵的解释。
证：设x∈[a,b], 若x∈(a,b)，取δ=min{|x-a|,|x-b|}>0，则【先证区间上任意点中的非端点都是聚点的情形。取非端点的任意点x，与两个端点的距离中，较小的那个为δ，这样做是为了使x的δ邻域包含于闭区间，以减少区间外的点的干扰】
U(x,δ)⊂[a,b]，从而对任给的正数ε(<δ)，有U(x,ε)⊂[a,b].【因为δ对某一x来说是一个定值，而我们探究聚点，是需要在一个可以无限小的邻域上的，因此重新取一个任给的正数ε，因为可以任意小，所以不妨设它比δ还小】
又U(x,ε)中含有[a,b]的无限多个点，∴x是[a,b]的聚点.【这个说法有点太过直接，应该设计一个点列{x+1/n}或{x-1/n}，则它们中任一个都收敛于x, 所以在U(x,ε)上有它们的几乎所有点，而这些点也都属于[a,b]，从而x就是[a,b]的聚点】
若x=a，则对任给的正数ε(<b-a)，有U+(a,ε)⊂U(a,ε)，【左端点的情况，只需取ε小于区间的长度，并仅探究右邻域的情形】
且U+(a,ε)⊂[a,b]，即U(a,ε)内含有[a,b]的无限多个点，【类似的，只要设计一个点列{a+1/n}收敛于a，就可以说明为什么这个邻域包含闭区间的无限多个点】
∴a是[a,b]的聚点. 同理可证，b是[a,b]的聚点.【左端点则设计点列{b-1/n}收敛于b，可证】
又设x是[a,b]的聚点，若x∉[a,b]，则x<a或x>b，【又证闭区间的所有聚点都在闭区间上，用反证法，如果不在闭区间上，要么这个点小于a，要么大于b】
若x<a, 取0<ε<a-x; 若x>b, 取0<ε<x-b，则U(x,ε)∩[a,b]=∅，【如果这个点小于a，就取ε小于这个点与左端点的距离，如果大于b，就取ε小于这个点与右端点的距离，不论哪种情况下，这个点的ε邻域都与闭区间不相交，即交集为空集，从而也就不可能含有闭区间的无限多个点了】
即U(x,ε)中不含[a,b]的点，矛盾，∴x∈[a,b].【由聚点的定义可知，这个点不是聚点，与假设矛盾】
∴闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身. 得证！
这个证明，既保证了数学的严谨性，又能巩固相关的知识，加深对极限、聚点等抽象概念的理解，所以是非常有意义的哦。
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