关于高中数学函数单调区间取不取端点的大讨论

关于高中数学函数单调区间取不取端点的大讨论周廷银:有定义可开可闭。任老师问单调区间的,如果仅仅是回答单调区间,我认为无论开闭与否,最终写出开是没有问题的。

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“数学解题研究”

任立勇:一般单调区间写不写两个端点?

周廷银:有定义可开可闭。

王芝平:能闭不开。

史嘉:是的,能闭不开。或者干脆一开到底。

陈雪松:还是能闭不开,在求参数范围表现尤为突出。

王芝平:闭的好处显而易见。闭区间上的连续函数的性质在开区间上是不一定具备的。

史嘉:开闭的区别不言而喻。任老师问单调区间的,如果仅仅是回答单调区间,我认为无论开闭与否,最终写出开是没有问题的。请讨论!

王芝平:对一个问题的考虑还是应该放在一个更大范围之内思考。求单调区间干什么呢?

史嘉:请教:若是填空题,求单调区间。答案是闭的,如果学生写出开的,给分吗?不知高考是否遇到过。

斌哥:不扣分。

小didi:我觉得是对的,单调区间与端点无关。所以我觉得写开区间必定是对的,从学生角度来说写开区间会更不易错。

史嘉:正是因为个别学生懒,或者分不清,有老师干脆要求全用开,当然仅仅是回答单调区间。类似的是(具有相同单调性的)单调区间之间能否用∪,何必让学生辛苦区分,都有和就是。当然要讲清楚,何时可用何时不能用。以后都不用。

”激活数学课堂教学研究群“

王方汉(大罕):

函数的单调区间含不含端点值?

在高中数学内,有几种处理方法:

①端点处有定义,则包括端点。

例如函数y=-(x-1)^2的增区间是(-∞,1],减区间是[1,+∞);

②端点处有定义,为避免重复,一个区间取端点,与这个区间“衔接”的另一个区间不取端点值。

例如函数y=-(x-1)^2的增区间是(-∞,1],减区间是(1,+∞);或者写成:增区间是(-∞,1),减区间是[1,+∞)

③无论端点处有无定义,一律不取端点值:

例如函数y=-(x-1)^2的增区间是(-∞,1),减区间是(1,+∞);

由于教材(人教社版、沪版、其它地方版)对是否取端点值没作明确的规定(无定义除外),所以,在中学数学范围内,写成开区间或闭区间都算对,不予扣分。

在数学里,函数的单调区间,到底该取、还是不该取端点值呢?

函数单调性的分析定义,是在某一区间内导函数值为正或为负,从而定义这个区间是函数的增区间或减区间,这里并不包括使导函数值为0的驻点。

由此可见,严格来说,函数的单调区间不该取端点值。

@宠辱不惊(李尚志)@王涛 @吴康

@黄元华深圳高级中学 我的观点是:“所以,在中学数学范围内,写成开区间或闭区间都算对,不予扣分”。“由此可见,严格来说,函数的单调区间不该取端点值。

李尚志:

按照单调区间的定义:对区间内任意两点x1

王芝平:再次表明我的观点:能闭不开。

黄元华:咱俩观点一致!不过,能闭可开也行。

史嘉:@王芝平,黄元华,王方汉 只能开的肯定不能闭,能闭的可以开。在单调区间上研究其他性质另当别论了。

王芝平:这个问题的判断不能以扣分不扣分为标准,应回到单调区间的定义,还要用高等数学观点来分析。

史嘉:哦,撇开分数就好说。完全同意王老师的”全局“观点和李教授的”回到定义“的见解。

李尚志:科学精神之一就是:真理是客观的,任何人不能另搞一套,没有大学版本和高中版本初中版本之分,没有这个省和那个省的版本之分。

考试扣分多少可以有不同规定,但正确与错误的标准是永恒不变,拿到外星人那里也是一样。所以,这里没有什么高等数学观点,只有唯一的观点。中学小学可以有的东西没学,但不能学一个与大学的正确与错误相反的东西。看到群中你们说的,在考试时不准用以后才学的知识,用了就要扣分。我觉得他们都是扼杀中国人民科学精神的刽子手。他们与于丹都是一路货色:让学生相信:真理是由强权决定的,谁也不准妄议。

在学习的某个阶段,你可以教学生某种方法,但在任何情况下你都无权禁止学生用另外的正确方法做出答案。所有主张禁止的人都是民族的罪人。我从1970年从教以来始终坚持这一条标准。我的数学实验课,本来只教学生计算各音阶的频率,有一个学生不但计算了,而且用计算机播放出音乐。平时我给分最高为A+,这次破例给了A++。

教师不懂数学题不要紧,最不能容忍的是扼杀学生的科学精神。

王芝平:

@王方汉(大罕) “函数单调性的分析定义,是在某一区间内导函数值为正或为负,从而定义这个区间是函数的增区间或减区间,这里并不包括使导函数值为0的驻点。”
复旦大学数学系主编,陈传璋等主编《数学分析》上,第218页有定理:若f(x)在[a,b]连续,f’(x)在(a,b)存在且不变号,则f’(x)>0时,f(x)在[a,b]严格上升,……

黄元华:y=x,x∈[1,+∞)。请问:增区间是(1,+∞),对吗?

张嵩:端点(1,1)并不影响函数上升的趋势,我认为开闭都正确。

黄元华:我认为这里必闭!(1,1)是定义域内的点,它处于上升趋势的起点,不可丢掉它。

李尚志:

1. 不能把端点记作(1,1), 闭区间[1,1]就只有一点了,再改成圆括号不就没有点了吗?

2. 虚圆比实圆少一圈边界,作为集合不相同,求面积则相同,因为边界面积是零。同理,开区间比闭区间少端点,作为区间不相同,求长度则不同,因为端点长度是0。

3. 递增递减都是在某个区间。单独一点没有比较就不能递增。如果说在某点递增,一定是在某点附近任意小区域递增。端点是否递增?看这端点附近任意小区域是否递增。如果是,就说明闭区间递增。既然你要求的单调区间做到最大,就只能有一个正确答案,只要闭区间内递增,开区间就不是最大,就不能算正确答案,更不能说根据某某机构某某权威的规定,不予扣分。哪怕扣0.001分也得扣一下,算总分再四舍五入进上来都可以。组织机构有权决定扣多少分,无权决定说两个都对,耶和华也没这个权力。千万不要给学生进行“数学对错长官决定”的教育。如果明确要求划分为两两不交的区间之并,就会有半开半闭空间。总之,数学答案的正确与否,只能有数学的理由,不能有行政的理由。

黄元华:

@宠辱不惊(李尚志) 老师早上好![强][强][强][强]高见!说明一下:我提到的(1,1)是点的坐标,而不是区间。请问您是否赞同"能闭则闭"?现在教材没有统一规定。我认为应该这样:增区间应该是函数递增的最大的区间,减区间亦然。故我坚持:能闭必闭!

王芝平:@宠辱不惊(李尚志)我也有这样的意思,但却说不出来。谢谢李老师!

李尚志:既然要求最大区间,当然就应该能闭就闭。如果人为地允许砍掉端点,就不是最大。我那篇就是为了支持黄老师的。不过不是用定理支持,而是用公理支持。不能说李尚志说对所以对。
黄元华:@宠辱不惊(李尚志) 老师好!现在的问题是没有一个统一的规定,一线老师们未必都知道多种答案都算对。这样老师们对学生的要求可能就各不一样,也给阅卷工作带来了麻烦。
樊文联:区间大小没有定义,多个端点测度不变,其实关于端点处理在讨论单调区间时,写成开区间,我和学生说永远不会错
黄元华:@樊文联 好!问题是所有专家、阅卷老师是不是达成了共识?否则在是否扣分上会有分歧[抱拳][握手][握手][握手]
王芝平:怎么又回到扣不扣分上去了?李教授循循善诱了半天,就是想告诉大家:标准在数学里找,不能由“长官”说了算!
黄元华:

关于高中数学函数单调区间取不取端点的大讨论

李强军:从增减性的定义看,连不连续没有区别,还是回到了前面的问题,应该是第一个。

萧特:前者严谨正确,后者不妥,但可以说成:在……,……,……区间上递增,递增区间与区间递增是两个不同概念
现行教科书是这样处理的:

在高一上讲函数单调区间,在端上处有定义可开可闭,无定义只开不闭;

高二下讲导数时,涉及函数单调区间,为降低理解难度,一律写开。

我对当下教科书的”规则”理解是否透彻?

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